Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5138 / 3092
↖ ↑ ↗
← N 81.059130°
W123.552246°		 ← 189.86 m → N 81.059130°
W123.541259°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 81.057422°
W123.552246°		 ← 189.90 m →
36 050 m²		 N 81.057422°
W123.541259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156814575195312 y=0.0943756103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156814575195312 × 215)
    floor (0.156814575195312 × 32768)
    floor (5138.5)     		tx = 5138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0943756103515625 × 215)
    floor (0.0943756103515625 × 32768)
    floor (3092.5)     		ty = 3092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5138 / 3092 ti = "15/5138/3092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5138/3092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5138 ÷ 215
    5138 ÷ 32768     		x = 0.15679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3092 ÷ 215
    3092 ÷ 32768     		y = 0.0943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.6864013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15639349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0943603515625 × 2 - 1) × π
    0.811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54870907899915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15639349} λ = -2.15639349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54870907899915))-π/2
    2×atan(12.7905814902115)-π/2
    2×1.49277251386171-π/2
    2.98554502772342-1.57079632675     		φ = 1.41474870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15639349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.552246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41474870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.059130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5138 KachelY 3092 -2.15639349 1.41474870 -123.552246 81.059130
    Oben rechts KachelX + 1 5139 KachelY 3092 -2.15620174 1.41474870 -123.541259 81.059130
    Unten links KachelX 5138 KachelY + 1 3093 -2.15639349 1.41471890 -123.552246 81.057422
    Unten rechts KachelX + 1 5139 KachelY + 1 3093 -2.15620174 1.41471890 -123.541259 81.057422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41474870-1.41471890) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dl = 189.855800000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41474870-1.41471890) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dr = 189.855800000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15639349--2.15620174) × cos(1.41474870) × R
    0.000191749999999935 × 0.155415081737352 × 6371000     		do = 189.861163892243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15639349--2.15620174) × cos(1.41471890) × R
    0.000191749999999935 × 0.155444519576166 × 6371000     		du = 189.897126311573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41474870)-sin(1.41471890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155415081737352-0.155444519576166)×R²
    abs(-2.15620174--2.15639349)×2.94378388139283e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94378388139283e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94378388139283e-05×40589641000000     		ar = 36049.6569998576m²