Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51379 / 50037
↖ ↑ ↗
← S 68.376924°
E102.233277°		 ← 225.07 m → S 68.376924°
E102.238769°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
S 68.378948°
E102.233277°		 ← 225.05 m →
50 659 m²		 S 68.378948°
E102.238769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783988952636719 y=0.763511657714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783988952636719 × 216)
    floor (0.783988952636719 × 65536)
    floor (51379.5)     		tx = 51379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763511657714844 × 216)
    floor (0.763511657714844 × 65536)
    floor (50037.5)     		ty = 50037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51379 / 50037 ti = "16/51379/50037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51379/50037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51379 ÷ 216
    51379 ÷ 65536     		x = 0.783981323242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50037 ÷ 216
    50037 ÷ 65536     		y = 0.763504028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783981323242188 × 2 - 1) × π
    0.567962646484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78430728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763504028320312 × 2 - 1) × π
    -0.527008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6556446390775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78430728} λ = 1.78430728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6556446390775))-π/2
    2×atan(0.19096890999549)-π/2
    2×0.188696931157081-π/2
    0.377393862314162-1.57079632675     		φ = -1.19340246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78430728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.233277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19340246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.376924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51379 KachelY 50037 1.78430728 -1.19340246 102.233277 -68.376924
    Oben rechts KachelX + 1 51380 KachelY 50037 1.78440315 -1.19340246 102.238769 -68.376924
    Unten links KachelX 51379 KachelY + 1 50038 1.78430728 -1.19343779 102.233277 -68.378948
    Unten rechts KachelX + 1 51380 KachelY + 1 50038 1.78440315 -1.19343779 102.238769 -68.378948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19340246--1.19343779) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19340246--1.19343779) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78430728-1.78440315) × cos(-1.19340246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368498988777194 × 6371000     		do = 225.074675602473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78430728-1.78440315) × cos(-1.19343779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368466144784718 × 6371000     		du = 225.05461489355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19340246)-sin(-1.19343779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368498988777194-0.368466144784718)×R²
    abs(1.78440315-1.78430728)×3.28439924764945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28439924764945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28439924764945e-05×40589641000000     		ar = 50659.2225880929m²