Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51370 / 49730
↖ ↑ ↗
← S 67.746920°
E102.183838°		 ← 231.33 m → S 67.746920°
E102.189331°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
S 67.749000°
E102.183838°		 ← 231.31 m →
53 511 m²		 S 67.749000°
E102.189331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783851623535156 y=0.758827209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783851623535156 × 216)
    floor (0.783851623535156 × 65536)
    floor (51370.5)     		tx = 51370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758827209472656 × 216)
    floor (0.758827209472656 × 65536)
    floor (49730.5)     		ty = 49730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51370 / 49730 ti = "16/51370/49730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51370/49730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51370 ÷ 216
    51370 ÷ 65536     		x = 0.783843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49730 ÷ 216
    49730 ÷ 65536     		y = 0.758819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783843994140625 × 2 - 1) × π
    0.56768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78344441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758819580078125 × 2 - 1) × π
    -0.51763916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62621138271078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78344441} λ = 1.78344441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62621138271078))-π/2
    2×atan(0.196673284225807)-π/2
    2×0.194194757883552-π/2
    0.388389515767105-1.57079632675     		φ = -1.18240681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78344441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.183838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18240681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.746920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51370 KachelY 49730 1.78344441 -1.18240681 102.183838 -67.746920
    Oben rechts KachelX + 1 51371 KachelY 49730 1.78354029 -1.18240681 102.189331 -67.746920
    Unten links KachelX 51370 KachelY + 1 49731 1.78344441 -1.18244312 102.183838 -67.749000
    Unten rechts KachelX + 1 51371 KachelY + 1 49731 1.78354029 -1.18244312 102.189331 -67.749000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18240681--1.18244312) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18240681--1.18244312) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78344441-1.78354029) × cos(-1.18240681) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378698372221005 × 6371000     		do = 231.32846114464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78344441-1.78354029) × cos(-1.18244312) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378664766334827 × 6371000     		du = 231.307932939331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18240681)-sin(-1.18244312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378698372221005-0.378664766334827)×R²
    abs(1.78354029-1.78344441)×3.36058861785671e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36058861785671e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36058861785671e-05×40589641000000     		ar = 53511.0721591108m²