Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5137 / 3028
↖ ↑ ↗
← N 81.167746°
W123.563232°		 ← 187.57 m → N 81.167746°
W123.552246°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
N 81.166059°
W123.563232°		 ← 187.61 m →
35 197 m²		 N 81.166059°
W123.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156784057617188 y=0.0924224853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156784057617188 × 215)
    floor (0.156784057617188 × 32768)
    floor (5137.5)     		tx = 5137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0924224853515625 × 215)
    floor (0.0924224853515625 × 32768)
    floor (3028.5)     		ty = 3028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5137 / 3028 ti = "15/5137/3028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5137/3028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5137 ÷ 215
    5137 ÷ 32768     		x = 0.156768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3028 ÷ 215
    3028 ÷ 32768     		y = 0.0924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.68646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15658524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0924072265625 × 2 - 1) × π
    0.815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56098092530188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15658524} λ = -2.15658524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56098092530188))-π/2
    2×atan(12.948512611599)-π/2
    2×1.49372037136088-π/2
    2.98744074272176-1.57079632675     		φ = 1.41664442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15658524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.563232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41664442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.167746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5137 KachelY 3028 -2.15658524 1.41664442 -123.563232 81.167746
    Oben rechts KachelX + 1 5138 KachelY 3028 -2.15639349 1.41664442 -123.552246 81.167746
    Unten links KachelX 5137 KachelY + 1 3029 -2.15658524 1.41661497 -123.563232 81.166059
    Unten rechts KachelX + 1 5138 KachelY + 1 3029 -2.15639349 1.41661497 -123.552246 81.166059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41664442-1.41661497) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41664442-1.41661497) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15658524--2.15639349) × cos(1.41664442) × R
    0.000191749999999935 × 0.153542118005905 × 6371000     		do = 187.573077884082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15658524--2.15639349) × cos(1.41661497) × R
    0.000191749999999935 × 0.153571218724285 × 6371000     		du = 187.608628463858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41664442)-sin(1.41661497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153542118005905-0.153571218724285)×R²
    abs(-2.15639349--2.15658524)×2.91007183793324e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91007183793324e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91007183793324e-05×40589641000000     		ar = 35196.9120407678m²