Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51368 / 49741
↖ ↑ ↗
← S 67.769792°
E102.172852°		 ← 231.08 m → S 67.769792°
E102.178345°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
S 67.771870°
E102.172852°		 ← 231.06 m →
53 394 m²		 S 67.771870°
E102.178345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783821105957031 y=0.758995056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783821105957031 × 216)
    floor (0.783821105957031 × 65536)
    floor (51368.5)     		tx = 51368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758995056152344 × 216)
    floor (0.758995056152344 × 65536)
    floor (49741.5)     		ty = 49741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51368 / 49741 ti = "16/51368/49741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51368/49741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51368 ÷ 216
    51368 ÷ 65536     		x = 0.7838134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49741 ÷ 216
    49741 ÷ 65536     		y = 0.758987426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7838134765625 × 2 - 1) × π
    0.567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78325267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758987426757812 × 2 - 1) × π
    -0.517974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62726599450243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78325267} λ = 1.78325267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62726599450243))-π/2
    2×atan(0.19646597959333)-π/2
    2×0.193995165428346-π/2
    0.387990330856692-1.57079632675     		φ = -1.18280600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78325267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18280600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.769792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51368 KachelY 49741 1.78325267 -1.18280600 102.172852 -67.769792
    Oben rechts KachelX + 1 51369 KachelY 49741 1.78334854 -1.18280600 102.178345 -67.769792
    Unten links KachelX 51368 KachelY + 1 49742 1.78325267 -1.18284227 102.172852 -67.771870
    Unten rechts KachelX + 1 51369 KachelY + 1 49742 1.78334854 -1.18284227 102.178345 -67.771870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18280600--1.18284227) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dl = 231.076170000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18280600--1.18284227) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dr = 231.076170000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78325267-1.78334854) × cos(-1.18280600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378328883669961 × 6371000     		do = 231.07865518336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78325267-1.78334854) × cos(-1.18284227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378295309325025 × 6371000     		du = 231.058148384087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18280600)-sin(-1.18284227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378328883669961-0.378295309325025)×R²
    abs(1.78334854-1.78325267)×3.35743449355053e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35743449355053e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35743449355053e-05×40589641000000     		ar = 53394.401298329m²