Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51366 / 49954
↖ ↑ ↗
← S 68.208291°
E102.161865°		 ← 226.74 m → S 68.208291°
E102.167358°		 →
↑
226.74 m
↓
↑
226.74 m
↓
S 68.210330°
E102.161865°		 ← 226.72 m →
51 411 m²		 S 68.210330°
E102.167358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783790588378906 y=0.762245178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783790588378906 × 216)
    floor (0.783790588378906 × 65536)
    floor (51366.5)     		tx = 51366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762245178222656 × 216)
    floor (0.762245178222656 × 65536)
    floor (49954.5)     		ty = 49954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51366 / 49954 ti = "16/51366/49954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51366/49954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51366 ÷ 216
    51366 ÷ 65536     		x = 0.783782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49954 ÷ 216
    49954 ÷ 65536     		y = 0.762237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783782958984375 × 2 - 1) × π
    0.56756591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78306092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.52447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64768711374057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78306092} λ = 1.78306092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64768711374057))-π/2
    2×atan(0.19249461229179)-π/2
    2×0.190168535462138-π/2
    0.380337070924275-1.57079632675     		φ = -1.19045926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78306092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.161865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19045926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.208291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51366 KachelY 49954 1.78306092 -1.19045926 102.161865 -68.208291
    Oben rechts KachelX + 1 51367 KachelY 49954 1.78315679 -1.19045926 102.167358 -68.208291
    Unten links KachelX 51366 KachelY + 1 49955 1.78306092 -1.19049485 102.161865 -68.210330
    Unten rechts KachelX + 1 51367 KachelY + 1 49955 1.78315679 -1.19049485 102.167358 -68.210330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19045926--1.19049485) × R
    3.55900000001963e-05 × 6371000     		dl = 226.743890001251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19045926--1.19049485) × R
    3.55900000001963e-05 × 6371000     		dr = 226.743890001251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78306092-1.78315679) × cos(-1.19045926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37123347034842 × 6371000     		do = 226.744863503467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78306092-1.78315679) × cos(-1.19049485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371200423390452 × 6371000     		du = 226.724678825705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19045926)-sin(-1.19049485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37123347034842-0.371200423390452)×R²
    abs(1.78315679-1.78306092)×3.30469579681858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30469579681858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30469579681858e-05×40589641000000     		ar = 51410.7240177871m²