Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51366 / 49187
↖ ↑ ↗
← S 66.589766°
E102.161865°		 ← 242.67 m → S 66.589766°
E102.167358°		 →
↑
242.67 m
↓
↑
242.67 m
↓
S 66.591948°
E102.161865°		 ← 242.65 m →
58 887 m²		 S 66.591948°
E102.167358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783790588378906 y=0.750541687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783790588378906 × 216)
    floor (0.783790588378906 × 65536)
    floor (51366.5)     		tx = 51366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750541687011719 × 216)
    floor (0.750541687011719 × 65536)
    floor (49187.5)     		ty = 49187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51366 / 49187 ti = "16/51366/49187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51366/49187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51366 ÷ 216
    51366 ÷ 65536     		x = 0.783782958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49187 ÷ 216
    49187 ÷ 65536     		y = 0.750534057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783782958984375 × 2 - 1) × π
    0.56756591796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78306092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750534057617188 × 2 - 1) × π
    -0.501068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5741519097234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78306092} λ = 1.78306092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5741519097234))-π/2
    2×atan(0.207183188240641)-π/2
    2×0.204292834320025-π/2
    0.408585668640051-1.57079632675     		φ = -1.16221066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78306092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.161865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16221066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.589766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51366 KachelY 49187 1.78306092 -1.16221066 102.161865 -66.589766
    Oben rechts KachelX + 1 51367 KachelY 49187 1.78315679 -1.16221066 102.167358 -66.589766
    Unten links KachelX 51366 KachelY + 1 49188 1.78306092 -1.16224875 102.161865 -66.591948
    Unten rechts KachelX + 1 51367 KachelY + 1 49188 1.78315679 -1.16224875 102.167358 -66.591948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16221066--1.16224875) × R
    3.80900000001017e-05 × 6371000     		dl = 242.671390000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16221066--1.16224875) × R
    3.80900000001017e-05 × 6371000     		dr = 242.671390000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78306092-1.78315679) × cos(-1.16221066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397311815307357 × 6371000     		do = 242.673197666227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78306092-1.78315679) × cos(-1.16224875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.397276860448088 × 6371000     		du = 242.651847665684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16221066)-sin(-1.16224875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397311815307357-0.397276860448088)×R²
    abs(1.78315679-1.78306092)×3.49548592685767e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.49548592685767e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.49548592685767e-05×40589641000000     		ar = 58887.2516838249m²