Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51365 / 84385
↖ ↑ ↗
← S 45.891920°
W 38.921814°		 ← 212.54 m → S 45.891920°
W 38.919068°		 →
↑
212.60 m
↓
↑
212.60 m
↓
S 45.893832°
W 38.921814°		 ← 212.53 m →
45 184 m²		 S 45.893832°
W 38.919068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391887664794922 y=0.643810272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391887664794922 × 217)
    floor (0.391887664794922 × 131072)
    floor (51365.5)     		tx = 51365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643810272216797 × 217)
    floor (0.643810272216797 × 131072)
    floor (84385.5)     		ty = 84385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51365 / 84385 ti = "17/51365/84385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51365/84385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51365 ÷ 217
    51365 ÷ 131072     		x = 0.391883850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84385 ÷ 217
    84385 ÷ 131072     		y = 0.643806457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391883850097656 × 2 - 1) × π
    -0.216232299804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.67931380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643806457519531 × 2 - 1) × π
    -0.287612915039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.903562620938438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67931380} λ = -0.67931380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903562620938438))-π/2
    2×atan(0.405123783242105)-π/2
    2×0.384915612673327-π/2
    0.769831225346653-1.57079632675     		φ = -0.80096510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67931380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.921814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80096510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.891920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51365 KachelY 84385 -0.67931380 -0.80096510 -38.921814 -45.891920
    Oben rechts KachelX + 1 51366 KachelY 84385 -0.67926587 -0.80096510 -38.919068 -45.891920
    Unten links KachelX 51365 KachelY + 1 84386 -0.67931380 -0.80099847 -38.921814 -45.893832
    Unten rechts KachelX + 1 51366 KachelY + 1 84386 -0.67926587 -0.80099847 -38.919068 -45.893832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80096510--0.80099847) × R
    3.33700000000325e-05 × 6371000     		dl = 212.600270000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80096510--0.80099847) × R
    3.33700000000325e-05 × 6371000     		dr = 212.600270000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67931380--0.67926587) × cos(-0.80096510) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.696014064628748 × 6371000     		do = 212.536267683224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67931380--0.67926587) × cos(-0.80099847) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.695990103641916 × 6371000     		du = 212.528950907644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80096510)-sin(-0.80099847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.696014064628748-0.695990103641916)×R²
    abs(-0.67926587--0.67931380)×2.39609868319945e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39609868319945e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39609868319945e-05×40589641000000     		ar = 45184.4901243276m²