Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51362 / 49950
↖ ↑ ↗
← S 68.200132°
E102.139892°		 ← 226.85 m → S 68.200132°
E102.145386°		 →
↑
226.87 m
↓
↑
226.87 m
↓
S 68.202173°
E102.139892°		 ← 226.83 m →
51 463 m²		 S 68.202173°
E102.145386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783729553222656 y=0.762184143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783729553222656 × 216)
    floor (0.783729553222656 × 65536)
    floor (51362.5)     		tx = 51362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762184143066406 × 216)
    floor (0.762184143066406 × 65536)
    floor (49950.5)     		ty = 49950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51362 / 49950 ti = "16/51362/49950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51362/49950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51362 ÷ 216
    51362 ÷ 65536     		x = 0.783721923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49950 ÷ 216
    49950 ÷ 65536     		y = 0.762176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783721923828125 × 2 - 1) × π
    0.56744384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78267742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.52435302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64730361854361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78267742} λ = 1.78267742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64730361854361))-π/2
    2×atan(0.192568447207807)-π/2
    2×0.190239731264368-π/2
    0.380479462528735-1.57079632675     		φ = -1.19031686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78267742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.139892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19031686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.200132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51362 KachelY 49950 1.78267742 -1.19031686 102.139892 -68.200132
    Oben rechts KachelX + 1 51363 KachelY 49950 1.78277330 -1.19031686 102.145386 -68.200132
    Unten links KachelX 51362 KachelY + 1 49951 1.78267742 -1.19035247 102.139892 -68.202173
    Unten rechts KachelX + 1 51363 KachelY + 1 49951 1.78277330 -1.19035247 102.145386 -68.202173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19031686--1.19035247) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dl = 226.871310000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19031686--1.19035247) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dr = 226.871310000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78267742-1.78277330) × cos(-1.19031686) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371365690617119 × 6371000     		do = 226.849281734541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78267742-1.78277330) × cos(-1.19035247) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.371332626970821 × 6371000     		du = 226.829084757265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19031686)-sin(-1.19035247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371365690617119-0.371332626970821)×R²
    abs(1.78277330-1.78267742)×3.30636462976819e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.30636462976819e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.30636462976819e-05×40589641000000     		ar = 51463.3026678209m²