Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51357 / 49193
↖ ↑ ↗
← S 66.602857°
E102.112427°		 ← 242.57 m → S 66.602857°
E102.117920°		 →
↑
242.54 m
↓
↑
242.54 m
↓
S 66.605038°
E102.112427°		 ← 242.55 m →
58 831 m²		 S 66.605038°
E102.117920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783653259277344 y=0.750633239746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783653259277344 × 216)
    floor (0.783653259277344 × 65536)
    floor (51357.5)     		tx = 51357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750633239746094 × 216)
    floor (0.750633239746094 × 65536)
    floor (49193.5)     		ty = 49193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51357 / 49193 ti = "16/51357/49193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51357/49193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51357 ÷ 216
    51357 ÷ 65536     		x = 0.783645629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49193 ÷ 216
    49193 ÷ 65536     		y = 0.750625610351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783645629882812 × 2 - 1) × π
    0.567291259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78219805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750625610351562 × 2 - 1) × π
    -0.501251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57472715251884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78219805} λ = 1.78219805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57472715251884))-π/2
    2×atan(0.207064041876599)-π/2
    2×0.204178589098044-π/2
    0.408357178196088-1.57079632675     		φ = -1.16243915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78219805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.112427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16243915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.602857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51357 KachelY 49193 1.78219805 -1.16243915 102.112427 -66.602857
    Oben rechts KachelX + 1 51358 KachelY 49193 1.78229393 -1.16243915 102.117920 -66.602857
    Unten links KachelX 51357 KachelY + 1 49194 1.78219805 -1.16247722 102.112427 -66.605038
    Unten rechts KachelX + 1 51358 KachelY + 1 49194 1.78229393 -1.16247722 102.117920 -66.605038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16243915--1.16247722) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dl = 242.543970000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16243915--1.16247722) × R
    3.80700000000012e-05 × 6371000     		dr = 242.543970000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78219805-1.78229393) × cos(-1.16243915) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.397102123395657 × 6371000     		do = 242.57041978722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78219805-1.78229393) × cos(-1.16247722) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.397067183435366 × 6371000     		du = 242.549076660766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16243915)-sin(-1.16247722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397102123395657-0.397067183435366)×R²
    abs(1.78229393-1.78219805)×3.49399602907474e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.49399602907474e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.49399602907474e-05×40589641000000     		ar = 58831.4043035741m²