Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51354 / 49534
↖ ↑ ↗
← S 67.335628°
E102.095947°		 ← 235.38 m → S 67.335628°
E102.101441°		 →
↑
235.34 m
↓
↑
235.34 m
↓
S 67.337744°
E102.095947°		 ← 235.36 m →
55 393 m²		 S 67.337744°
E102.101441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783607482910156 y=0.755836486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783607482910156 × 216)
    floor (0.783607482910156 × 65536)
    floor (51354.5)     		tx = 51354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755836486816406 × 216)
    floor (0.755836486816406 × 65536)
    floor (49534.5)     		ty = 49534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51354 / 49534 ti = "16/51354/49534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51354/49534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51354 ÷ 216
    51354 ÷ 65536     		x = 0.783599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49534 ÷ 216
    49534 ÷ 65536     		y = 0.755828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783599853515625 × 2 - 1) × π
    0.56719970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78191043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.51165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60742011805972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78191043} λ = 1.78191043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60742011805972))-π/2
    2×atan(0.200403966298275)-π/2
    2×0.197783958790213-π/2
    0.395567917580426-1.57079632675     		φ = -1.17522841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78191043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.095947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17522841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.335628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51354 KachelY 49534 1.78191043 -1.17522841 102.095947 -67.335628
    Oben rechts KachelX + 1 51355 KachelY 49534 1.78200631 -1.17522841 102.101441 -67.335628
    Unten links KachelX 51354 KachelY + 1 49535 1.78191043 -1.17526535 102.095947 -67.337744
    Unten rechts KachelX + 1 51355 KachelY + 1 49535 1.78200631 -1.17526535 102.101441 -67.337744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17522841--1.17526535) × R
    3.69400000002074e-05 × 6371000     		dl = 235.344740001321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17522841--1.17526535) × R
    3.69400000002074e-05 × 6371000     		dr = 235.344740001321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78191043-1.78200631) × cos(-1.17522841) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.385332311974609 × 6371000     		do = 235.380813061903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78191043-1.78200631) × cos(-1.17526535) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.385298224296954 × 6371000     		du = 235.359990553557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17522841)-sin(-1.17526535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385332311974609-0.385298224296954)×R²
    abs(1.78200631-1.78191043)×3.40876776553922e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.40876776553922e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.40876776553922e-05×40589641000000     		ar = 55393.1860236258m²