Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51351 / 49547
↖ ↑ ↗
← S 67.363129°
E102.079468°		 ← 235.11 m → S 67.363129°
E102.084961°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
S 67.365243°
E102.079468°		 ← 235.09 m →
55 255 m²		 S 67.365243°
E102.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783561706542969 y=0.756034851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783561706542969 × 216)
    floor (0.783561706542969 × 65536)
    floor (51351.5)     		tx = 51351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756034851074219 × 216)
    floor (0.756034851074219 × 65536)
    floor (49547.5)     		ty = 49547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51351 / 49547 ti = "16/51351/49547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51351/49547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51351 ÷ 216
    51351 ÷ 65536     		x = 0.783554077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49547 ÷ 216
    49547 ÷ 65536     		y = 0.756027221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783554077148438 × 2 - 1) × π
    0.567108154296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78162281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756027221679688 × 2 - 1) × π
    -0.512054443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60866647744984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78162281} λ = 1.78162281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60866647744984))-π/2
    2×atan(0.200154346523351)-π/2
    2×0.197543965562416-π/2
    0.395087931124831-1.57079632675     		φ = -1.17570840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78162281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.079468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17570840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.363129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51351 KachelY 49547 1.78162281 -1.17570840 102.079468 -67.363129
    Oben rechts KachelX + 1 51352 KachelY 49547 1.78171869 -1.17570840 102.084961 -67.363129
    Unten links KachelX 51351 KachelY + 1 49548 1.78162281 -1.17574529 102.079468 -67.365243
    Unten rechts KachelX + 1 51352 KachelY + 1 49548 1.78171869 -1.17574529 102.084961 -67.365243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17570840--1.17574529) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dl = 235.026190000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17570840--1.17574529) × R
    3.68900000000671e-05 × 6371000     		dr = 235.026190000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78162281-1.78171869) × cos(-1.17570840) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384889343450246 × 6371000     		do = 235.110225082657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78162281-1.78171869) × cos(-1.17574529) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.384855295093405 × 6371000     		du = 235.089426593489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17570840)-sin(-1.17574529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384889343450246-0.384855295093405)×R²
    abs(1.78171869-1.78162281)×3.4048356841343e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.4048356841343e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.4048356841343e-05×40589641000000     		ar = 55254.6163427488m²