Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51348 / 48908
↖ ↑ ↗
← S 65.973325°
E102.062988°		 ← 248.69 m → S 65.973325°
E102.068481°		 →
↑
248.72 m
↓
↑
248.72 m
↓
S 65.975562°
E102.062988°		 ← 248.67 m →
61 852 m²		 S 65.975562°
E102.068481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783515930175781 y=0.746284484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783515930175781 × 216)
    floor (0.783515930175781 × 65536)
    floor (51348.5)     		tx = 51348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746284484863281 × 216)
    floor (0.746284484863281 × 65536)
    floor (48908.5)     		ty = 48908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51348 / 48908 ti = "16/51348/48908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51348/48908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51348 ÷ 216
    51348 ÷ 65536     		x = 0.78350830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48908 ÷ 216
    48908 ÷ 65536     		y = 0.74627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78350830078125 × 2 - 1) × π
    0.5670166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78133519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54740311973541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78133519} λ = 1.78133519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54740311973541))-π/2
    2×atan(0.212799872698659)-π/2
    2×0.209672292073482-π/2
    0.419344584146965-1.57079632675     		φ = -1.15145174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78133519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15145174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.973325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51348 KachelY 48908 1.78133519 -1.15145174 102.062988 -65.973325
    Oben rechts KachelX + 1 51349 KachelY 48908 1.78143106 -1.15145174 102.068481 -65.973325
    Unten links KachelX 51348 KachelY + 1 48909 1.78133519 -1.15149078 102.062988 -65.975562
    Unten rechts KachelX + 1 51349 KachelY + 1 48909 1.78143106 -1.15149078 102.068481 -65.975562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15145174--1.15149078) × R
    3.90400000001012e-05 × 6371000     		dl = 248.723840000645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15145174--1.15149078) × R
    3.90400000001012e-05 × 6371000     		dr = 248.723840000645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78133519-1.78143106) × cos(-1.15145174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407161914973395 × 6371000     		do = 248.689518075524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78133519-1.78143106) × cos(-1.15149078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407126257245048 × 6371000     		du = 248.667738771144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15145174)-sin(-1.15149078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407161914973395-0.407126257245048)×R²
    abs(1.78143106-1.78133519)×3.56577283477377e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56577283477377e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56577283477377e-05×40589641000000     		ar = 61852.3033954242m²