Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51347 / 48909
↖ ↑ ↗
← S 65.975562°
E102.057495°		 ← 248.67 m → S 65.975562°
E102.062988°		 →
↑
248.66 m
↓
↑
248.66 m
↓
S 65.977798°
E102.057495°		 ← 248.65 m →
61 831 m²		 S 65.977798°
E102.062988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783500671386719 y=0.746299743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783500671386719 × 216)
    floor (0.783500671386719 × 65536)
    floor (51347.5)     		tx = 51347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746299743652344 × 216)
    floor (0.746299743652344 × 65536)
    floor (48909.5)     		ty = 48909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51347 / 48909 ti = "16/51347/48909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51347/48909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51347 ÷ 216
    51347 ÷ 65536     		x = 0.783493041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48909 ÷ 216
    48909 ÷ 65536     		y = 0.746292114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783493041992188 × 2 - 1) × π
    0.566986083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78123932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746292114257812 × 2 - 1) × π
    -0.492584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54749899353465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78123932} λ = 1.78123932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54749899353465))-π/2
    2×atan(0.21277947174436)-π/2
    2×0.2096527748483-π/2
    0.4193055496966-1.57079632675     		φ = -1.15149078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78123932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.057495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15149078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.975562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51347 KachelY 48909 1.78123932 -1.15149078 102.057495 -65.975562
    Oben rechts KachelX + 1 51348 KachelY 48909 1.78133519 -1.15149078 102.062988 -65.975562
    Unten links KachelX 51347 KachelY + 1 48910 1.78123932 -1.15152981 102.057495 -65.977798
    Unten rechts KachelX + 1 51348 KachelY + 1 48910 1.78133519 -1.15152981 102.062988 -65.977798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15149078--1.15152981) × R
    3.90299999999399e-05 × 6371000     		dl = 248.660129999617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15149078--1.15152981) × R
    3.90299999999399e-05 × 6371000     		dr = 248.660129999617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78123932-1.78133519) × cos(-1.15149078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407126257245048 × 6371000     		do = 248.667738771144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78123932-1.78133519) × cos(-1.15152981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407090608030068 × 6371000     		du = 248.645964666624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15149078)-sin(-1.15152981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407126257245048-0.407090608030068)×R²
    abs(1.78133519-1.78123932)×3.56492149796717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56492149796717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56492149796717e-05×40589641000000     		ar = 61831.0450815195m²