Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51344 / 48905
↖ ↑ ↗
← S 65.966615°
E102.041015°		 ← 248.78 m → S 65.966615°
E102.046509°		 →
↑
248.72 m
↓
↑
248.72 m
↓
S 65.968851°
E102.041015°		 ← 248.76 m →
61 875 m²		 S 65.968851°
E102.046509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783454895019531 y=0.746238708496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783454895019531 × 216)
    floor (0.783454895019531 × 65536)
    floor (51344.5)     		tx = 51344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746238708496094 × 216)
    floor (0.746238708496094 × 65536)
    floor (48905.5)     		ty = 48905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51344 / 48905 ti = "16/51344/48905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51344/48905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51344 ÷ 216
    51344 ÷ 65536     		x = 0.783447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48905 ÷ 216
    48905 ÷ 65536     		y = 0.746231079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783447265625 × 2 - 1) × π
    0.56689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78095169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746231079101562 × 2 - 1) × π
    -0.492462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54711549833769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78095169} λ = 1.78095169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54711549833769))-π/2
    2×atan(0.212861087298372)-π/2
    2×0.209730854004336-π/2
    0.419461708008673-1.57079632675     		φ = -1.15133462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78095169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.041015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15133462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.966615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51344 KachelY 48905 1.78095169 -1.15133462 102.041015 -65.966615
    Oben rechts KachelX + 1 51345 KachelY 48905 1.78104757 -1.15133462 102.046509 -65.966615
    Unten links KachelX 51344 KachelY + 1 48906 1.78095169 -1.15137366 102.041015 -65.968851
    Unten rechts KachelX + 1 51345 KachelY + 1 48906 1.78104757 -1.15137366 102.046509 -65.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15133462--1.15137366) × R
    3.90399999998792e-05 × 6371000     		dl = 248.72383999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15133462--1.15137366) × R
    3.90399999998792e-05 × 6371000     		dr = 248.72383999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78095169-1.78104757) × cos(-1.15133462) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407268884434835 × 6371000     		do = 248.780800814805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78095169-1.78104757) × cos(-1.15137366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.407233228568344 × 6371000     		du = 248.759020375988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15133462)-sin(-1.15137366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407268884434835-0.407233228568344)×R²
    abs(1.78104757-1.78095169)×3.5655866491735e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.5655866491735e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.5655866491735e-05×40589641000000     		ar = 61875.0074477651m²