Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51340 / 49596
↖ ↑ ↗
← S 67.466503°
E102.019043°		 ← 234.07 m → S 67.466503°
E102.024536°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
S 67.468608°
E102.019043°		 ← 234.05 m →
54 786 m²		 S 67.468608°
E102.024536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783393859863281 y=0.756782531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783393859863281 × 216)
    floor (0.783393859863281 × 65536)
    floor (51340.5)     		tx = 51340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756782531738281 × 216)
    floor (0.756782531738281 × 65536)
    floor (49596.5)     		ty = 49596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51340 / 49596 ti = "16/51340/49596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51340/49596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51340 ÷ 216
    51340 ÷ 65536     		x = 0.78338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49596 ÷ 216
    49596 ÷ 65536     		y = 0.75677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78338623046875 × 2 - 1) × π
    0.5667724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78056820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61336429361261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78056820} λ = 1.78056820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61336429361261))-π/2
    2×atan(0.199216263395495)-π/2
    2×0.196641853506084-π/2
    0.393283707012169-1.57079632675     		φ = -1.17751262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78056820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17751262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.466503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51340 KachelY 49596 1.78056820 -1.17751262 102.019043 -67.466503
    Oben rechts KachelX + 1 51341 KachelY 49596 1.78066407 -1.17751262 102.024536 -67.466503
    Unten links KachelX 51340 KachelY + 1 49597 1.78056820 -1.17754936 102.019043 -67.468608
    Unten rechts KachelX + 1 51341 KachelY + 1 49597 1.78066407 -1.17754936 102.024536 -67.468608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17751262--1.17754936) × R
    3.67400000000906e-05 × 6371000     		dl = 234.070540000577m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17751262--1.17754936) × R
    3.67400000000906e-05 × 6371000     		dr = 234.070540000577m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78056820-1.78066407) × cos(-1.17751262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383223490096854 × 6371000     		do = 234.068220927869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78056820-1.78066407) × cos(-1.17754936) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3831895547297 × 6371000     		du = 234.047493620641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17751262)-sin(-1.17754936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383223490096854-0.3831895547297)×R²
    abs(1.78066407-1.78056820)×3.39353671538478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39353671538478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39353671538478e-05×40589641000000     		ar = 54786.049049637m²