Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51340 / 49556
↖ ↑ ↗
← S 67.382150°
E102.019043°		 ← 234.90 m → S 67.382150°
E102.024536°		 →
↑
234.90 m
↓
↑
234.90 m
↓
S 67.384262°
E102.019043°		 ← 234.88 m →
55 175 m²		 S 67.384262°
E102.024536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783393859863281 y=0.756172180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783393859863281 × 216)
    floor (0.783393859863281 × 65536)
    floor (51340.5)     		tx = 51340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756172180175781 × 216)
    floor (0.756172180175781 × 65536)
    floor (49556.5)     		ty = 49556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51340 / 49556 ti = "16/51340/49556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51340/49556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51340 ÷ 216
    51340 ÷ 65536     		x = 0.78338623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49556 ÷ 216
    49556 ÷ 65536     		y = 0.75616455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78338623046875 × 2 - 1) × π
    0.5667724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78056820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.5123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60952934164301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78056820} λ = 1.78056820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60952934164301))-π/2
    2×atan(0.199981714994124)-π/2
    2×0.197377978051639-π/2
    0.394755956103278-1.57079632675     		φ = -1.17604037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78056820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17604037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.382150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51340 KachelY 49556 1.78056820 -1.17604037 102.019043 -67.382150
    Oben rechts KachelX + 1 51341 KachelY 49556 1.78066407 -1.17604037 102.024536 -67.382150
    Unten links KachelX 51340 KachelY + 1 49557 1.78056820 -1.17607724 102.019043 -67.384262
    Unten rechts KachelX + 1 51341 KachelY + 1 49557 1.78066407 -1.17607724 102.024536 -67.384262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17604037--1.17607724) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dl = 234.898769999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17604037--1.17607724) × R
    3.68699999999667e-05 × 6371000     		dr = 234.898769999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78056820-1.78066407) × cos(-1.17604037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384582926311587 × 6371000     		do = 234.898547941924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78056820-1.78066407) × cos(-1.17607724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.384548891705425 × 6371000     		du = 234.877760020723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17604037)-sin(-1.17607724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384582926311587-0.384548891705425)×R²
    abs(1.78066407-1.78056820)×3.40346061625252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.40346061625252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.40346061625252e-05×40589641000000     		ar = 55174.9384639289m²