Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51338 / 49277
↖ ↑ ↗
← S 66.785415°
E102.008057°		 ← 240.78 m → S 66.785415°
E102.013550°		 →
↑
240.70 m
↓
↑
240.70 m
↓
S 66.787579°
E102.008057°		 ← 240.76 m →
57 953 m²		 S 66.787579°
E102.013550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783363342285156 y=0.751914978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783363342285156 × 216)
    floor (0.783363342285156 × 65536)
    floor (51338.5)     		tx = 51338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751914978027344 × 216)
    floor (0.751914978027344 × 65536)
    floor (49277.5)     		ty = 49277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51338 / 49277 ti = "16/51338/49277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51338/49277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51338 ÷ 216
    51338 ÷ 65536     		x = 0.783355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49277 ÷ 216
    49277 ÷ 65536     		y = 0.751907348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783355712890625 × 2 - 1) × π
    0.56671142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78037645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751907348632812 × 2 - 1) × π
    -0.503814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58278055165501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78037645} λ = 1.78037645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58278055165501))-π/2
    2×atan(0.20540316931208)-π/2
    2×0.202585475620464-π/2
    0.405170951240928-1.57079632675     		φ = -1.16562538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78037645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.008057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16562538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.785415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51338 KachelY 49277 1.78037645 -1.16562538 102.008057 -66.785415
    Oben rechts KachelX + 1 51339 KachelY 49277 1.78047233 -1.16562538 102.013550 -66.785415
    Unten links KachelX 51338 KachelY + 1 49278 1.78037645 -1.16566316 102.008057 -66.787579
    Unten rechts KachelX + 1 51339 KachelY + 1 49278 1.78047233 -1.16566316 102.013550 -66.787579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16562538--1.16566316) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dl = 240.696379999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16562538--1.16566316) × R
    3.77799999999873e-05 × 6371000     		dr = 240.696379999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78037645-1.78047233) × cos(-1.16562538) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394175872221825 × 6371000     		do = 240.782914926835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78037645-1.78047233) × cos(-1.16566316) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.394141150797186 × 6371000     		du = 240.761705293206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16562538)-sin(-1.16566316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394175872221825-0.394141150797186)×R²
    abs(1.78047233-1.78037645)×3.47214246396166e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.47214246396166e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.47214246396166e-05×40589641000000     		ar = 57953.0234549578m²