Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51337 / 49549
↖ ↑ ↗
← S 67.367357°
E102.002564°		 ← 235.04 m → S 67.367357°
E102.008057°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
S 67.369471°
E102.002564°		 ← 235.02 m →
55 239 m²		 S 67.369471°
E102.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783348083496094 y=0.756065368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783348083496094 × 216)
    floor (0.783348083496094 × 65536)
    floor (51337.5)     		tx = 51337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756065368652344 × 216)
    floor (0.756065368652344 × 65536)
    floor (49549.5)     		ty = 49549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51337 / 49549 ti = "16/51337/49549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51337/49549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51337 ÷ 216
    51337 ÷ 65536     		x = 0.783340454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49549 ÷ 216
    49549 ÷ 65536     		y = 0.756057739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783340454101562 × 2 - 1) × π
    0.566680908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78028058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756057739257812 × 2 - 1) × π
    -0.512115478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60885822504832
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78028058} λ = 1.78028058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60885822504832))-π/2
    2×atan(0.200115971087396)-π/2
    2×0.197507068023506-π/2
    0.395014136047012-1.57079632675     		φ = -1.17578219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78028058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.002564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17578219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.367357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51337 KachelY 49549 1.78028058 -1.17578219 102.002564 -67.367357
    Oben rechts KachelX + 1 51338 KachelY 49549 1.78037645 -1.17578219 102.008057 -67.367357
    Unten links KachelX 51337 KachelY + 1 49550 1.78028058 -1.17581908 102.002564 -67.369471
    Unten rechts KachelX + 1 51338 KachelY + 1 49550 1.78037645 -1.17581908 102.008057 -67.369471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17578219--1.17581908) × R
    3.68899999998451e-05 × 6371000     		dl = 235.026189999013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17578219--1.17581908) × R
    3.68899999998451e-05 × 6371000     		dr = 235.026189999013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78028058-1.78037645) × cos(-1.17578219) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.384821236982913 × 6371000     		do = 235.044105185975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78028058-1.78037645) × cos(-1.17581908) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.384787187578499 × 6371000     		du = 235.023308226182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17578219)-sin(-1.17581908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384821236982913-0.384787187578499)×R²
    abs(1.78037645-1.78028058)×3.40494044144268e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.40494044144268e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.40494044144268e-05×40589641000000     		ar = 55239.0766146419m²