Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51336 / 49608
↖ ↑ ↗
← S 67.491751°
E101.997070°		 ← 233.84 m → S 67.491751°
E102.002564°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
S 67.493854°
E101.997070°		 ← 233.82 m →
54 674 m²		 S 67.493854°
E102.002564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783332824707031 y=0.756965637207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783332824707031 × 216)
    floor (0.783332824707031 × 65536)
    floor (51336.5)     		tx = 51336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756965637207031 × 216)
    floor (0.756965637207031 × 65536)
    floor (49608.5)     		ty = 49608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51336 / 49608 ti = "16/51336/49608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51336/49608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51336 ÷ 216
    51336 ÷ 65536     		x = 0.7833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49608 ÷ 216
    49608 ÷ 65536     		y = 0.7569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7833251953125 × 2 - 1) × π
    0.566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.78018470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78018470} λ = 1.78018470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61451477920349))-π/2
    2×atan(0.198987199747469)-π/2
    2×0.196421524048943-π/2
    0.392843048097885-1.57079632675     		φ = -1.17795328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78018470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17795328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.491751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51336 KachelY 49608 1.78018470 -1.17795328 101.997070 -67.491751
    Oben rechts KachelX + 1 51337 KachelY 49608 1.78028058 -1.17795328 102.002564 -67.491751
    Unten links KachelX 51336 KachelY + 1 49609 1.78018470 -1.17798998 101.997070 -67.493854
    Unten rechts KachelX + 1 51337 KachelY + 1 49609 1.78028058 -1.17798998 102.002564 -67.493854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17795328--1.17798998) × R
    3.66999999998896e-05 × 6371000     		dl = 233.815699999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17795328--1.17798998) × R
    3.66999999998896e-05 × 6371000     		dr = 233.815699999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78018470-1.78028058) × cos(-1.17795328) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.382816434804641 × 6371000     		do = 233.843985768585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78018470-1.78028058) × cos(-1.17798998) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.382782530190267 × 6371000     		du = 233.823275084716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17795328)-sin(-1.17798998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382816434804641-0.382782530190267)×R²
    abs(1.78028058-1.78018470)×3.39046143746913e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.39046143746913e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.39046143746913e-05×40589641000000     		ar = 54673.9739877054m²