Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51335 / 49258
↖ ↑ ↗
← S 66.744240°
E101.991577°		 ← 241.16 m → S 66.744240°
E101.997070°		 →
↑
241.21 m
↓
↑
241.21 m
↓
S 66.746409°
E101.991577°		 ← 241.14 m →
58 167 m²		 S 66.746409°
E101.997070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783317565917969 y=0.751625061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783317565917969 × 216)
    floor (0.783317565917969 × 65536)
    floor (51335.5)     		tx = 51335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751625061035156 × 216)
    floor (0.751625061035156 × 65536)
    floor (49258.5)     		ty = 49258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51335 / 49258 ti = "16/51335/49258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51335/49258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51335 ÷ 216
    51335 ÷ 65536     		x = 0.783309936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49258 ÷ 216
    49258 ÷ 65536     		y = 0.751617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783309936523438 × 2 - 1) × π
    0.566619873046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.78008883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.50323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58095894946945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78008883} λ = 1.78008883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58095894946945))-π/2
    2×atan(0.205777673169185)-π/2
    2×0.202944792093311-π/2
    0.405889584186622-1.57079632675     		φ = -1.16490674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78008883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.991577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16490674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.744240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51335 KachelY 49258 1.78008883 -1.16490674 101.991577 -66.744240
    Oben rechts KachelX + 1 51336 KachelY 49258 1.78018470 -1.16490674 101.997070 -66.744240
    Unten links KachelX 51335 KachelY + 1 49259 1.78008883 -1.16494460 101.991577 -66.746409
    Unten rechts KachelX + 1 51336 KachelY + 1 49259 1.78018470 -1.16494460 101.997070 -66.746409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16490674--1.16494460) × R
    3.78600000001672e-05 × 6371000     		dl = 241.206060001065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16490674--1.16494460) × R
    3.78600000001672e-05 × 6371000     		dr = 241.206060001065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78008883-1.78018470) × cos(-1.16490674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394836225712366 × 6371000     		do = 241.161137818067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78008883-1.78018470) × cos(-1.16494460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394801441496865 × 6371000     		du = 241.13989204465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16490674)-sin(-1.16494460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394836225712366-0.394801441496865)×R²
    abs(1.78018470-1.78008883)×3.47842155010158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47842155010158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47842155010158e-05×40589641000000     		ar = 58166.9655809461m²