Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51331 / 48258
↖ ↑ ↗
← S 64.477528°
E101.969605°		 ← 263.17 m → S 64.477528°
E101.975098°		 →
↑
263.19 m
↓
↑
263.19 m
↓
S 64.479894°
E101.969605°		 ← 263.14 m →
69 259 m²		 S 64.479894°
E101.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783256530761719 y=0.736366271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783256530761719 × 216)
    floor (0.783256530761719 × 65536)
    floor (51331.5)     		tx = 51331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736366271972656 × 216)
    floor (0.736366271972656 × 65536)
    floor (48258.5)     		ty = 48258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51331 / 48258 ti = "16/51331/48258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51331/48258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51331 ÷ 216
    51331 ÷ 65536     		x = 0.783248901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48258 ÷ 216
    48258 ÷ 65536     		y = 0.736358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783248901367188 × 2 - 1) × π
    0.566497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77970534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.47271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48508515022934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77970534} λ = 1.77970534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48508515022934))-π/2
    2×atan(0.226483054771325)-π/2
    2×0.222725586101393-π/2
    0.445451172202786-1.57079632675     		φ = -1.12534515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77970534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.969605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12534515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.477528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51331 KachelY 48258 1.77970534 -1.12534515 101.969605 -64.477528
    Oben rechts KachelX + 1 51332 KachelY 48258 1.77980121 -1.12534515 101.975098 -64.477528
    Unten links KachelX 51331 KachelY + 1 48259 1.77970534 -1.12538646 101.969605 -64.479894
    Unten rechts KachelX + 1 51332 KachelY + 1 48259 1.77980121 -1.12538646 101.975098 -64.479894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12534515--1.12538646) × R
    4.13100000000721e-05 × 6371000     		dl = 263.186010000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12534515--1.12538646) × R
    4.13100000000721e-05 × 6371000     		dr = 263.186010000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77970534-1.77980121) × cos(-1.12534515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430865073462036 × 6371000     		do = 263.167117390757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77970534-1.77980121) × cos(-1.12538646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430827794274537 × 6371000     		du = 263.144347718957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12534515)-sin(-1.12538646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430865073462036-0.430827794274537)×R²
    abs(1.77980121-1.77970534)×3.72791874985179e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72791874985179e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72791874985179e-05×40589641000000     		ar = 69258.9072696376m²