Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51330 / 49503
↖ ↑ ↗
← S 67.269920°
E101.964111°		 ← 236.03 m → S 67.269920°
E101.969605°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
S 67.272043°
E101.964111°		 ← 236.01 m →
55 696 m²		 S 67.272043°
E101.969605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783241271972656 y=0.755363464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783241271972656 × 216)
    floor (0.783241271972656 × 65536)
    floor (51330.5)     		tx = 51330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755363464355469 × 216)
    floor (0.755363464355469 × 65536)
    floor (49503.5)     		ty = 49503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51330 / 49503 ti = "16/51330/49503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51330/49503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51330 ÷ 216
    51330 ÷ 65536     		x = 0.783233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49503 ÷ 216
    49503 ÷ 65536     		y = 0.755355834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783233642578125 × 2 - 1) × π
    0.56646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77960946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755355834960938 × 2 - 1) × π
    -0.510711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60444803028328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77960946} λ = 1.77960946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60444803028328))-π/2
    2×atan(0.201000470469147)-π/2
    2×0.198357365339349-π/2
    0.396714730678698-1.57079632675     		φ = -1.17408160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77960946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.964111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17408160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.269920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51330 KachelY 49503 1.77960946 -1.17408160 101.964111 -67.269920
    Oben rechts KachelX + 1 51331 KachelY 49503 1.77970534 -1.17408160 101.969605 -67.269920
    Unten links KachelX 51330 KachelY + 1 49504 1.77960946 -1.17411864 101.964111 -67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 51331 KachelY + 1 49504 1.77970534 -1.17411864 101.969605 -67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17408160--1.17411864) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dl = 235.981840000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17408160--1.17411864) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dr = 235.981840000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77960946-1.77970534) × cos(-1.17408160) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386390309249856 × 6371000     		do = 236.027092262777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77960946-1.77970534) × cos(-1.17411864) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 236.006223397291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17408160)-sin(-1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386390309249856-0.38635614568282)×R²
    abs(1.77970534-1.77960946)×3.41635670361717e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41635670361717e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41635670361717e-05×40589641000000     		ar = 55695.6451914887m²