Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51330 / 49500
↖ ↑ ↗
← S 67.263552°
E101.964111°		 ← 236.09 m → S 67.263552°
E101.969605°		 →
↑
236.05 m
↓
↑
236.05 m
↓
S 67.265675°
E101.964111°		 ← 236.07 m →
55 725 m²		 S 67.265675°
E101.969605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783241271972656 y=0.755317687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783241271972656 × 216)
    floor (0.783241271972656 × 65536)
    floor (51330.5)     		tx = 51330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755317687988281 × 216)
    floor (0.755317687988281 × 65536)
    floor (49500.5)     		ty = 49500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51330 / 49500 ti = "16/51330/49500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51330/49500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51330 ÷ 216
    51330 ÷ 65536     		x = 0.783233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49500 ÷ 216
    49500 ÷ 65536     		y = 0.75531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783233642578125 × 2 - 1) × π
    0.56646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77960946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.5106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60416040888556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77960946} λ = 1.77960946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60416040888556))-π/2
    2×atan(0.201058290820192)-π/2
    2×0.198412939771317-π/2
    0.396825879542634-1.57079632675     		φ = -1.17397045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77960946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.964111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17397045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.263552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51330 KachelY 49500 1.77960946 -1.17397045 101.964111 -67.263552
    Oben rechts KachelX + 1 51331 KachelY 49500 1.77970534 -1.17397045 101.969605 -67.263552
    Unten links KachelX 51330 KachelY + 1 49501 1.77960946 -1.17400750 101.964111 -67.265675
    Unten rechts KachelX + 1 51331 KachelY + 1 49501 1.77970534 -1.17400750 101.969605 -67.265675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17397045--1.17400750) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dl = 236.045549999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17397045--1.17400750) × R
    3.70499999999829e-05 × 6371000     		dr = 236.045549999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77960946-1.77970534) × cos(-1.17397045) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386492824438873 × 6371000     		do = 236.089713817711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77960946-1.77970534) × cos(-1.17400750) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386458653239678 × 6371000     		du = 236.068840290109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17397045)-sin(-1.17400750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386492824438873-0.386458653239678)×R²
    abs(1.77970534-1.77960946)×3.41711991954097e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41711991954097e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41711991954097e-05×40589641000000     		ar = 55725.4628019537m²