Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5133 / 7205
↖ ↑ ↗
← N 70.477225°
W123.607178°		 ← 408.25 m → N 70.477225°
W123.596191°		 →
↑
408.32 m
↓
↑
408.32 m
↓
N 70.473553°
W123.607178°		 ← 408.32 m →
166 710 m²		 N 70.473553°
W123.596191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156661987304688 y=0.219894409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156661987304688 × 215)
    floor (0.156661987304688 × 32768)
    floor (5133.5)     		tx = 5133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219894409179688 × 215)
    floor (0.219894409179688 × 32768)
    floor (7205.5)     		ty = 7205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5133 / 7205 ti = "15/5133/7205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5133/7205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5133 ÷ 215
    5133 ÷ 32768     		x = 0.156646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7205 ÷ 215
    7205 ÷ 32768     		y = 0.219879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.68670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15735223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219879150390625 × 2 - 1) × π
    0.56024169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76005120644998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15735223} λ = -2.15735223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76005120644998))-π/2
    2×atan(5.81273503630783)-π/2
    2×1.40042797266589-π/2
    2.80085594533178-1.57079632675     		φ = 1.23005962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15735223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23005962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.477225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5133 KachelY 7205 -2.15735223 1.23005962 -123.607178 70.477225
    Oben rechts KachelX + 1 5134 KachelY 7205 -2.15716048 1.23005962 -123.596191 70.477225
    Unten links KachelX 5133 KachelY + 1 7206 -2.15735223 1.22999553 -123.607178 70.473553
    Unten rechts KachelX + 1 5134 KachelY + 1 7206 -2.15716048 1.22999553 -123.596191 70.473553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23005962-1.22999553) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dl = 408.317389999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23005962-1.22999553) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dr = 408.317389999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15735223--2.15716048) × cos(1.23005962) × R
    0.000191749999999935 × 0.334181535348133 × 6371000     		do = 408.249280206404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15735223--2.15716048) × cos(1.22999553) × R
    0.000191749999999935 × 0.334241940046108 × 6371000     		du = 408.323072956334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23005962)-sin(1.22999553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334181535348133-0.334241940046108)×R²
    abs(-2.15716048--2.15735223)×6.04046979746919e-05×R²
    0.000191749999999935×6.04046979746919e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.04046979746919e-05×40589641000000     		ar = 166710.346051952m²