Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5133 / 3021
↖ ↑ ↗
← N 81.179546°
W123.607178°		 ← 187.32 m → N 81.179546°
W123.596191°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
N 81.177861°
W123.607178°		 ← 187.36 m →
35 103 m²		 N 81.177861°
W123.596191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156661987304688 y=0.0922088623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156661987304688 × 215)
    floor (0.156661987304688 × 32768)
    floor (5133.5)     		tx = 5133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0922088623046875 × 215)
    floor (0.0922088623046875 × 32768)
    floor (3021.5)     		ty = 3021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5133 / 3021 ti = "15/5133/3021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5133/3021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5133 ÷ 215
    5133 ÷ 32768     		x = 0.156646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3021 ÷ 215
    3021 ÷ 32768     		y = 0.092193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.68670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15735223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092193603515625 × 2 - 1) × π
    0.81561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.56232315849124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15735223} λ = -2.15735223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56232315849124))-π/2
    2×atan(12.9659042041545)-π/2
    2×1.49382334772148-π/2
    2.98764669544295-1.57079632675     		φ = 1.41685037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15735223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41685037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.179546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5133 KachelY 3021 -2.15735223 1.41685037 -123.607178 81.179546
    Oben rechts KachelX + 1 5134 KachelY 3021 -2.15716048 1.41685037 -123.596191 81.179546
    Unten links KachelX 5133 KachelY + 1 3022 -2.15735223 1.41682096 -123.607178 81.177861
    Unten rechts KachelX + 1 5134 KachelY + 1 3022 -2.15716048 1.41682096 -123.596191 81.177861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41685037-1.41682096) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41685037-1.41682096) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15735223--2.15716048) × cos(1.41685037) × R
    0.000191749999999935 × 0.153338606884719 × 6371000     		do = 187.324460710629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15735223--2.15716048) × cos(1.41682096) × R
    0.000191749999999935 × 0.153367669007069 × 6371000     		du = 187.359964139981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41685037)-sin(1.41682096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153338606884719-0.153367669007069)×R²
    abs(-2.15716048--2.15735223)×2.9062122350626e-05×R²
    0.000191749999999935×2.9062122350626e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.9062122350626e-05×40589641000000     		ar = 35102.5182942659m²