Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51327 / 49503
↖ ↑ ↗
← S 67.269920°
E101.947632°		 ← 236 m → S 67.269920°
E101.953125°		 →
↑
235.98 m
↓
↑
235.98 m
↓
S 67.272043°
E101.947632°		 ← 235.98 m →
55 690 m²		 S 67.272043°
E101.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783195495605469 y=0.755363464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783195495605469 × 216)
    floor (0.783195495605469 × 65536)
    floor (51327.5)     		tx = 51327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755363464355469 × 216)
    floor (0.755363464355469 × 65536)
    floor (49503.5)     		ty = 49503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51327 / 49503 ti = "16/51327/49503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51327/49503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51327 ÷ 216
    51327 ÷ 65536     		x = 0.783187866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49503 ÷ 216
    49503 ÷ 65536     		y = 0.755355834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783187866210938 × 2 - 1) × π
    0.566375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77932184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755355834960938 × 2 - 1) × π
    -0.510711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60444803028328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77932184} λ = 1.77932184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60444803028328))-π/2
    2×atan(0.201000470469147)-π/2
    2×0.198357365339349-π/2
    0.396714730678698-1.57079632675     		φ = -1.17408160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77932184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.947632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17408160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.269920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51327 KachelY 49503 1.77932184 -1.17408160 101.947632 -67.269920
    Oben rechts KachelX + 1 51328 KachelY 49503 1.77941771 -1.17408160 101.953125 -67.269920
    Unten links KachelX 51327 KachelY + 1 49504 1.77932184 -1.17411864 101.947632 -67.272043
    Unten rechts KachelX + 1 51328 KachelY + 1 49504 1.77941771 -1.17411864 101.953125 -67.272043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17408160--1.17411864) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dl = 235.981840000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17408160--1.17411864) × R
    3.70400000000437e-05 × 6371000     		dr = 235.981840000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77932184-1.77941771) × cos(-1.17408160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386390309249856 × 6371000     		do = 236.002475336325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77932184-1.77941771) × cos(-1.17411864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38635614568282 × 6371000     		du = 235.981608647399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17408160)-sin(-1.17411864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386390309249856-0.38635614568282)×R²
    abs(1.77941771-1.77932184)×3.41635670361717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41635670361717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41635670361717e-05×40589641000000     		ar = 55689.836300703m²