Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51327 / 49499
↖ ↑ ↗
← S 67.261429°
E101.947632°		 ← 236.09 m → S 67.261429°
E101.953125°		 →
↑
236.11 m
↓
↑
236.11 m
↓
S 67.263552°
E101.947632°		 ← 236.07 m →
55 740 m²		 S 67.263552°
E101.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783195495605469 y=0.755302429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783195495605469 × 216)
    floor (0.783195495605469 × 65536)
    floor (51327.5)     		tx = 51327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755302429199219 × 216)
    floor (0.755302429199219 × 65536)
    floor (49499.5)     		ty = 49499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51327 / 49499 ti = "16/51327/49499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51327/49499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51327 ÷ 216
    51327 ÷ 65536     		x = 0.783187866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49499 ÷ 216
    49499 ÷ 65536     		y = 0.755294799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783187866210938 × 2 - 1) × π
    0.566375732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77932184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755294799804688 × 2 - 1) × π
    -0.510589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60406453508632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77932184} λ = 1.77932184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60406453508632))-π/2
    2×atan(0.201077567966474)-π/2
    2×0.198431467858312-π/2
    0.396862935716624-1.57079632675     		φ = -1.17393339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77932184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.947632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17393339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.261429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51327 KachelY 49499 1.77932184 -1.17393339 101.947632 -67.261429
    Oben rechts KachelX + 1 51328 KachelY 49499 1.77941771 -1.17393339 101.953125 -67.261429
    Unten links KachelX 51327 KachelY + 1 49500 1.77932184 -1.17397045 101.947632 -67.263552
    Unten rechts KachelX + 1 51328 KachelY + 1 49500 1.77941771 -1.17397045 101.953125 -67.263552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17393339--1.17397045) × R
    3.70600000001442e-05 × 6371000     		dl = 236.109260000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17393339--1.17397045) × R
    3.70600000001442e-05 × 6371000     		dr = 236.109260000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77932184-1.77941771) × cos(-1.17393339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38652700433031 × 6371000     		do = 236.085967019685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77932184-1.77941771) × cos(-1.17397045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386492824438873 × 6371000     		du = 236.065090360016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17393339)-sin(-1.17397045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38652700433031-0.386492824438873)×R²
    abs(1.77941771-1.77932184)×3.41798914367808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41798914367808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41798914367808e-05×40589641000000     		ar = 55739.6183899044m²