Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5132 / 7195
↖ ↑ ↗
← N 70.513906°
W123.618164°		 ← 407.51 m → N 70.513906°
W123.607178°		 →
↑
407.49 m
↓
↑
407.49 m
↓
N 70.510241°
W123.618164°		 ← 407.59 m →
166 072 m²		 N 70.510241°
W123.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156631469726562 y=0.219589233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156631469726562 × 215)
    floor (0.156631469726562 × 32768)
    floor (5132.5)     		tx = 5132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219589233398438 × 215)
    floor (0.219589233398438 × 32768)
    floor (7195.5)     		ty = 7195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5132 / 7195 ti = "15/5132/7195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5132/7195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5132 ÷ 215
    5132 ÷ 32768     		x = 0.1566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7195 ÷ 215
    7195 ÷ 32768     		y = 0.219573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.686767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15754398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219573974609375 × 2 - 1) × π
    0.56085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76196868243478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15754398} λ = -2.15754398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76196868243478))-π/2
    2×atan(5.8238915088618)-π/2
    2×1.4007480758412-π/2
    2.80149615168241-1.57079632675     		φ = 1.23069982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15754398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23069982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.513906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5132 KachelY 7195 -2.15754398 1.23069982 -123.618164 70.513906
    Oben rechts KachelX + 1 5133 KachelY 7195 -2.15735223 1.23069982 -123.607178 70.513906
    Unten links KachelX 5132 KachelY + 1 7196 -2.15754398 1.23063586 -123.618164 70.510241
    Unten rechts KachelX + 1 5133 KachelY + 1 7196 -2.15735223 1.23063586 -123.607178 70.510241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23069982-1.23063586) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dl = 407.489160000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23069982-1.23063586) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dr = 407.489160000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15754398--2.15735223) × cos(1.23069982) × R
    0.000191749999999935 × 0.333578072818841 × 6371000     		do = 407.512066694716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15754398--2.15735223) × cos(1.23063586) × R
    0.000191749999999935 × 0.333638368666138 × 6371000     		du = 407.585726468386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23069982)-sin(1.23063586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333578072818841-0.333638368666138)×R²
    abs(-2.15735223--2.15754398)×6.02958472972204e-05×R²
    0.000191749999999935×6.02958472972204e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.02958472972204e-05×40589641000000     		ar = 166071.757583859m²