Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5132 / 3054
↖ ↑ ↗
← N 81.123779°
W123.618164°		 ← 188.50 m → N 81.123779°
W123.607178°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 81.122084°
W123.618164°		 ← 188.54 m →
35 539 m²		 N 81.122084°
W123.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156631469726562 y=0.0932159423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156631469726562 × 215)
    floor (0.156631469726562 × 32768)
    floor (5132.5)     		tx = 5132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0932159423828125 × 215)
    floor (0.0932159423828125 × 32768)
    floor (3054.5)     		ty = 3054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5132 / 3054 ti = "15/5132/3054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5132/3054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5132 ÷ 215
    5132 ÷ 32768     		x = 0.1566162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3054 ÷ 215
    3054 ÷ 32768     		y = 0.09320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1566162109375 × 2 - 1) × π
    -0.686767578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15754398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09320068359375 × 2 - 1) × π
    0.8135986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55599548774139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15754398} λ = -2.15754398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55599548774139))-π/2
    2×atan(12.8841192583661)-π/2
    2×1.49333668977392-π/2
    2.98667337954784-1.57079632675     		φ = 1.41587705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15754398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41587705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.123779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5132 KachelY 3054 -2.15754398 1.41587705 -123.618164 81.123779
    Oben rechts KachelX + 1 5133 KachelY 3054 -2.15735223 1.41587705 -123.607178 81.123779
    Unten links KachelX 5132 KachelY + 1 3055 -2.15754398 1.41584746 -123.618164 81.122084
    Unten rechts KachelX + 1 5133 KachelY + 1 3055 -2.15735223 1.41584746 -123.607178 81.122084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41587705-1.41584746) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41587705-1.41584746) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15754398--2.15735223) × cos(1.41587705) × R
    0.000191749999999935 × 0.154300343330798 × 6371000     		do = 188.499355701315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15754398--2.15735223) × cos(1.41584746) × R
    0.000191749999999935 × 0.154329578893096 × 6371000     		du = 188.535071011714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41587705)-sin(1.41584746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154300343330798-0.154329578893096)×R²
    abs(-2.15735223--2.15754398)×2.92355622981411e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92355622981411e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92355622981411e-05×40589641000000     		ar = 35538.8672936128m²