Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51316 / 48788
↖ ↑ ↗
← S 65.703518°
E101.887207°		 ← 251.31 m → S 65.703518°
E101.892700°		 →
↑
251.34 m
↓
↑
251.34 m
↓
S 65.705778°
E101.887207°		 ← 251.29 m →
63 161 m²		 S 65.705778°
E101.892700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.783027648925781 y=0.744453430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.783027648925781 × 216)
    floor (0.783027648925781 × 65536)
    floor (51316.5)     		tx = 51316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744453430175781 × 216)
    floor (0.744453430175781 × 65536)
    floor (48788.5)     		ty = 48788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51316 / 48788 ti = "16/51316/48788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51316/48788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51316 ÷ 216
    51316 ÷ 65536     		x = 0.78302001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48788 ÷ 216
    48788 ÷ 65536     		y = 0.74444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78302001953125 × 2 - 1) × π
    0.5660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77826723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.4888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5358982638266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77826723} λ = 1.77826723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5358982638266))-π/2
    2×atan(0.215262242013327)-π/2
    2×0.212026801971909-π/2
    0.424053603943818-1.57079632675     		φ = -1.14674272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77826723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.887207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14674272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.703518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51316 KachelY 48788 1.77826723 -1.14674272 101.887207 -65.703518
    Oben rechts KachelX + 1 51317 KachelY 48788 1.77836310 -1.14674272 101.892700 -65.703518
    Unten links KachelX 51316 KachelY + 1 48789 1.77826723 -1.14678217 101.887207 -65.705778
    Unten rechts KachelX + 1 51317 KachelY + 1 48789 1.77836310 -1.14678217 101.892700 -65.705778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14674272--1.14678217) × R
    3.94500000000519e-05 × 6371000     		dl = 251.335950000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14674272--1.14678217) × R
    3.94500000000519e-05 × 6371000     		dr = 251.335950000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77826723-1.77836310) × cos(-1.14674272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411458396356055 × 6371000     		do = 251.313756358086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77826723-1.77836310) × cos(-1.14678217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411422440179886 × 6371000     		du = 251.291794765426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14674272)-sin(-1.14678217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411458396356055-0.411422440179886)×R²
    abs(1.77836310-1.77826723)×3.59561761688609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59561761688609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59561761688609e-05×40589641000000     		ar = 63161.4218416992m²