Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51314 / 49990
↖ ↑ ↗
← S 68.281586°
E101.876221°		 ← 226.02 m → S 68.281586°
E101.881714°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
S 68.283619°
E101.876221°		 ← 226 m →
51 088 m²		 S 68.283619°
E101.881714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782997131347656 y=0.762794494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782997131347656 × 216)
    floor (0.782997131347656 × 65536)
    floor (51314.5)     		tx = 51314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762794494628906 × 216)
    floor (0.762794494628906 × 65536)
    floor (49990.5)     		ty = 49990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51314 / 49990 ti = "16/51314/49990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51314/49990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51314 ÷ 216
    51314 ÷ 65536     		x = 0.782989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49990 ÷ 216
    49990 ÷ 65536     		y = 0.762786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782989501953125 × 2 - 1) × π
    0.56597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77807548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762786865234375 × 2 - 1) × π
    -0.52557373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65113857051321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77807548} λ = 1.77807548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65113857051321))-π/2
    2×atan(0.191831370691762)-π/2
    2×0.18952891297571-π/2
    0.37905782595142-1.57079632675     		φ = -1.19173850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77807548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.876221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19173850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.281586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51314 KachelY 49990 1.77807548 -1.19173850 101.876221 -68.281586
    Oben rechts KachelX + 1 51315 KachelY 49990 1.77817135 -1.19173850 101.881714 -68.281586
    Unten links KachelX 51314 KachelY + 1 49991 1.77807548 -1.19177398 101.876221 -68.283619
    Unten rechts KachelX + 1 51315 KachelY + 1 49991 1.77817135 -1.19177398 101.881714 -68.283619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19173850--1.19177398) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19173850--1.19177398) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77807548-1.77817135) × cos(-1.19173850) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370045341975017 × 6371000     		do = 226.019169223803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77807548-1.77817135) × cos(-1.19177398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370012380336224 × 6371000     		du = 225.999036657949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19173850)-sin(-1.19177398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370045341975017-0.370012380336224)×R²
    abs(1.77817135-1.77807548)×3.29616387920728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29616387920728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29616387920728e-05×40589641000000     		ar = 51087.7937420881m²