Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51311 / 84391
↖ ↑ ↗
← S 45.903389°
W 39.070130°		 ← 212.54 m → S 45.903389°
W 39.067383°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
S 45.905300°
W 39.070130°		 ← 212.53 m →
45 171 m²		 S 45.905300°
W 39.067383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391475677490234 y=0.643856048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391475677490234 × 217)
    floor (0.391475677490234 × 131072)
    floor (51311.5)     		tx = 51311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643856048583984 × 217)
    floor (0.643856048583984 × 131072)
    floor (84391.5)     		ty = 84391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51311 / 84391 ti = "17/51311/84391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51311/84391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51311 ÷ 217
    51311 ÷ 131072     		x = 0.391471862792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84391 ÷ 217
    84391 ÷ 131072     		y = 0.643852233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391471862792969 × 2 - 1) × π
    -0.217056274414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.68190240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643852233886719 × 2 - 1) × π
    -0.287704467773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.903850242336159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68190240} λ = -0.68190240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903850242336159))-π/2
    2×atan(0.405007277728861)-π/2
    2×0.384815528740129-π/2
    0.769631057480259-1.57079632675     		φ = -0.80116527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68190240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.070130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80116527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.903389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51311 KachelY 84391 -0.68190240 -0.80116527 -39.070130 -45.903389
    Oben rechts KachelX + 1 51312 KachelY 84391 -0.68185446 -0.80116527 -39.067383 -45.903389
    Unten links KachelX 51311 KachelY + 1 84392 -0.68190240 -0.80119863 -39.070130 -45.905300
    Unten rechts KachelX + 1 51312 KachelY + 1 84392 -0.68185446 -0.80119863 -39.067383 -45.905300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80116527--0.80119863) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80116527--0.80119863) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68190240--0.68185446) × cos(-0.80116527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695870322991295 × 6371000     		do = 212.536708343516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68190240--0.68185446) × cos(-0.80119863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.695846364537783 × 6371000     		du = 212.529390815123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80116527)-sin(-0.80119863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695870322991295-0.695846364537783)×R²
    abs(-0.68185446--0.68190240)×2.39584535114412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39584535114412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39584535114412e-05×40589641000000     		ar = 45171.0432482507m²