Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51310 / 84392
↖ ↑ ↗
← S 45.905300°
W 39.072876°		 ← 212.49 m → S 45.905300°
W 39.070130°		 →
↑
212.47 m
↓
↑
212.47 m
↓
S 45.907211°
W 39.072876°		 ← 212.48 m →
45 147 m²		 S 45.907211°
W 39.070130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391468048095703 y=0.643863677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391468048095703 × 217)
    floor (0.391468048095703 × 131072)
    floor (51310.5)     		tx = 51310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643863677978516 × 217)
    floor (0.643863677978516 × 131072)
    floor (84392.5)     		ty = 84392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51310 / 84392 ti = "17/51310/84392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51310/84392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51310 ÷ 217
    51310 ÷ 131072     		x = 0.391464233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84392 ÷ 217
    84392 ÷ 131072     		y = 0.64385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391464233398438 × 2 - 1) × π
    -0.217071533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68195033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.903898179235779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68195033} λ = -0.68195033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903898179235779))-π/2
    2×atan(0.404987863400979)-π/2
    2×0.384798850094307-π/2
    0.769597700188614-1.57079632675     		φ = -0.80119863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68195033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.072876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80119863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.905300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51310 KachelY 84392 -0.68195033 -0.80119863 -39.072876 -45.905300
    Oben rechts KachelX + 1 51311 KachelY 84392 -0.68190240 -0.80119863 -39.070130 -45.905300
    Unten links KachelX 51310 KachelY + 1 84393 -0.68195033 -0.80123198 -39.072876 -45.907211
    Unten rechts KachelX + 1 51311 KachelY + 1 84393 -0.68190240 -0.80123198 -39.070130 -45.907211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80119863--0.80123198) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dl = 212.472849999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80119863--0.80123198) × R
    3.3349999999932e-05 × 6371000     		dr = 212.472849999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68195033--0.68190240) × cos(-0.80119863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695846364537783 × 6371000     		do = 212.485058443508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68195033--0.68190240) × cos(-0.80123198) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.695822412492011 × 6371000     		du = 212.477744398188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80119863)-sin(-0.80123198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695846364537783-0.695822412492011)×R²
    abs(-0.68190240--0.68195033)×2.39520457728792e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39520457728792e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39520457728792e-05×40589641000000     		ar = 45146.5289358604m²