Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51310 / 48892
↖ ↑ ↗
← S 65.937515°
E101.854248°		 ← 249.04 m → S 65.937515°
E101.859741°		 →
↑
249.04 m
↓
↑
249.04 m
↓
S 65.939754°
E101.854248°		 ← 249.02 m →
62 018 m²		 S 65.939754°
E101.859741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782936096191406 y=0.746040344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782936096191406 × 216)
    floor (0.782936096191406 × 65536)
    floor (51310.5)     		tx = 51310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746040344238281 × 216)
    floor (0.746040344238281 × 65536)
    floor (48892.5)     		ty = 48892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51310 / 48892 ti = "16/51310/48892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51310/48892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51310 ÷ 216
    51310 ÷ 65536     		x = 0.782928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48892 ÷ 216
    48892 ÷ 65536     		y = 0.74603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782928466796875 × 2 - 1) × π
    0.56585693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77769199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.4920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54586913894757
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77769199} λ = 1.77769199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54586913894757))-π/2
    2×atan(0.213126554112481)-π/2
    2×0.209984800200703-π/2
    0.419969600401407-1.57079632675     		φ = -1.15082673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77769199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.854248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15082673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.937515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51310 KachelY 48892 1.77769199 -1.15082673 101.854248 -65.937515
    Oben rechts KachelX + 1 51311 KachelY 48892 1.77778786 -1.15082673 101.859741 -65.937515
    Unten links KachelX 51310 KachelY + 1 48893 1.77769199 -1.15086582 101.854248 -65.939754
    Unten rechts KachelX + 1 51311 KachelY + 1 48893 1.77778786 -1.15086582 101.859741 -65.939754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15082673--1.15086582) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dl = 249.042390000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15082673--1.15086582) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dr = 249.042390000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77769199-1.77778786) × cos(-1.15082673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407732692040787 × 6371000     		do = 249.038141727684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77769199-1.77778786) × cos(-1.15086582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407696998598015 × 6371000     		du = 249.016340609369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15082673)-sin(-1.15086582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407732692040787-0.407696998598015)×R²
    abs(1.77778786-1.77769199)×3.56934427722666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56934427722666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56934427722666e-05×40589641000000     		ar = 62018.3393234996m²