Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51309 / 49512
↖ ↑ ↗
← S 67.289015°
E101.848755°		 ← 235.84 m → S 67.289015°
E101.854248°		 →
↑
235.79 m
↓
↑
235.79 m
↓
S 67.291136°
E101.848755°		 ← 235.82 m →
55 606 m²		 S 67.291136°
E101.854248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782920837402344 y=0.755500793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782920837402344 × 216)
    floor (0.782920837402344 × 65536)
    floor (51309.5)     		tx = 51309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755500793457031 × 216)
    floor (0.755500793457031 × 65536)
    floor (49512.5)     		ty = 49512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51309 / 49512 ti = "16/51309/49512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51309/49512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51309 ÷ 216
    51309 ÷ 65536     		x = 0.782913208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49512 ÷ 216
    49512 ÷ 65536     		y = 0.7554931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782913208007812 × 2 - 1) × π
    0.565826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77759611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7554931640625 × 2 - 1) × π
    -0.510986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60531089447644
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77759611} λ = 1.77759611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60531089447644))-π/2
    2×atan(0.200827109164758)-π/2
    2×0.198190730476659-π/2
    0.396381460953317-1.57079632675     		φ = -1.17441487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77759611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.848755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17441487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.289015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51309 KachelY 49512 1.77759611 -1.17441487 101.848755 -67.289015
    Oben rechts KachelX + 1 51310 KachelY 49512 1.77769199 -1.17441487 101.854248 -67.289015
    Unten links KachelX 51309 KachelY + 1 49513 1.77759611 -1.17445188 101.848755 -67.291136
    Unten rechts KachelX + 1 51310 KachelY + 1 49513 1.77769199 -1.17445188 101.854248 -67.291136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17441487--1.17445188) × R
    3.70099999997819e-05 × 6371000     		dl = 235.790709998611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17441487--1.17445188) × R
    3.70099999997819e-05 × 6371000     		dr = 235.790709998611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77759611-1.77769199) × cos(-1.17441487) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.386082901089869 × 6371000     		do = 235.839311533831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77759611-1.77769199) × cos(-1.17445188) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.386048760429566 × 6371000     		du = 235.818456660958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17441487)-sin(-1.17445188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386082901089869-0.386048760429566)×R²
    abs(1.77769199-1.77759611)×3.41406603022176e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.41406603022176e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.41406603022176e-05×40589641000000     		ar = 55606.2600257401m²