Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51309 / 49234
↖ ↑ ↗
← S 66.692131°
E101.848755°		 ← 241.70 m → S 66.692131°
E101.854248°		 →
↑
241.72 m
↓
↑
241.72 m
↓
S 66.694305°
E101.848755°		 ← 241.68 m →
58 419 m²		 S 66.694305°
E101.854248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782920837402344 y=0.751258850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782920837402344 × 216)
    floor (0.782920837402344 × 65536)
    floor (51309.5)     		tx = 51309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751258850097656 × 216)
    floor (0.751258850097656 × 65536)
    floor (49234.5)     		ty = 49234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51309 / 49234 ti = "16/51309/49234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51309/49234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51309 ÷ 216
    51309 ÷ 65536     		x = 0.782913208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49234 ÷ 216
    49234 ÷ 65536     		y = 0.751251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782913208007812 × 2 - 1) × π
    0.565826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77759611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.50250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57865797828769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77759611} λ = 1.77759611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57865797828769))-π/2
    2×atan(0.206251706824742)-π/2
    2×0.203399525905414-π/2
    0.406799051810829-1.57079632675     		φ = -1.16399727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77759611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.848755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16399727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.692131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51309 KachelY 49234 1.77759611 -1.16399727 101.848755 -66.692131
    Oben rechts KachelX + 1 51310 KachelY 49234 1.77769199 -1.16399727 101.854248 -66.692131
    Unten links KachelX 51309 KachelY + 1 49235 1.77759611 -1.16403521 101.848755 -66.694305
    Unten rechts KachelX + 1 51310 KachelY + 1 49235 1.77769199 -1.16403521 101.854248 -66.694305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16399727--1.16403521) × R
    3.79399999999031e-05 × 6371000     		dl = 241.715739999382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16399727--1.16403521) × R
    3.79399999999031e-05 × 6371000     		dr = 241.715739999382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77759611-1.77769199) × cos(-1.16399727) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.395671639250201 × 6371000     		do = 241.696606430413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77759611-1.77769199) × cos(-1.16403521) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.395636795171134 × 6371000     		du = 241.675321873145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16399727)-sin(-1.16403521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395671639250201-0.395636795171134)×R²
    abs(1.77769199-1.77759611)×3.48440790675086e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.48440790675086e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.48440790675086e-05×40589641000000     		ar = 58419.3016795653m²