Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51306 / 49974
↖ ↑ ↗
← S 68.249039°
E101.832275°		 ← 226.34 m → S 68.249039°
E101.837768°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 68.251075°
E101.832275°		 ← 226.32 m →
51 233 m²		 S 68.251075°
E101.837768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782875061035156 y=0.762550354003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782875061035156 × 216)
    floor (0.782875061035156 × 65536)
    floor (51306.5)     		tx = 51306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762550354003906 × 216)
    floor (0.762550354003906 × 65536)
    floor (49974.5)     		ty = 49974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51306 / 49974 ti = "16/51306/49974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51306/49974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51306 ÷ 216
    51306 ÷ 65536     		x = 0.782867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49974 ÷ 216
    49974 ÷ 65536     		y = 0.762542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782867431640625 × 2 - 1) × π
    0.56573486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77730849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762542724609375 × 2 - 1) × π
    -0.52508544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64960458972537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77730849} λ = 1.77730849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64960458972537))-π/2
    2×atan(0.192125862143276)-π/2
    2×0.189812936513825-π/2
    0.37962587302765-1.57079632675     		φ = -1.19117045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77730849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.832275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19117045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.249039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51306 KachelY 49974 1.77730849 -1.19117045 101.832275 -68.249039
    Oben rechts KachelX + 1 51307 KachelY 49974 1.77740436 -1.19117045 101.837768 -68.249039
    Unten links KachelX 51306 KachelY + 1 49975 1.77730849 -1.19120598 101.832275 -68.251075
    Unten rechts KachelX + 1 51307 KachelY + 1 49975 1.77740436 -1.19120598 101.837768 -68.251075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19117045--1.19120598) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19117045--1.19120598) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77730849-1.77740436) × cos(-1.19117045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37057300847263 × 6371000     		do = 226.341461467184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77730849-1.77740436) × cos(-1.19120598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370540007856045 × 6371000     		du = 226.321305094171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19117045)-sin(-1.19120598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37057300847263-0.370540007856045)×R²
    abs(1.77740436-1.77730849)×3.30006165845664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30006165845664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30006165845664e-05×40589641000000     		ar = 51232.7408450049m²