Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51305 / 49659
↖ ↑ ↗
← S 67.598756°
E101.826782°		 ← 232.77 m → S 67.598756°
E101.832275°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 67.600849°
E101.826782°		 ← 232.74 m →
54 185 m²		 S 67.600849°
E101.832275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782859802246094 y=0.757743835449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782859802246094 × 216)
    floor (0.782859802246094 × 65536)
    floor (51305.5)     		tx = 51305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757743835449219 × 216)
    floor (0.757743835449219 × 65536)
    floor (49659.5)     		ty = 49659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51305 / 49659 ti = "16/51305/49659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51305/49659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51305 ÷ 216
    51305 ÷ 65536     		x = 0.782852172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49659 ÷ 216
    49659 ÷ 65536     		y = 0.757736206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782852172851562 × 2 - 1) × π
    0.565704345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77721262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757736206054688 × 2 - 1) × π
    -0.515472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61940434296474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77721262} λ = 1.77721262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61940434296474))-π/2
    2×atan(0.198016613950917)-π/2
    2×0.19548773250918-π/2
    0.390975465018359-1.57079632675     		φ = -1.17982086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77721262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.826782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17982086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.598756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51305 KachelY 49659 1.77721262 -1.17982086 101.826782 -67.598756
    Oben rechts KachelX + 1 51306 KachelY 49659 1.77730849 -1.17982086 101.832275 -67.598756
    Unten links KachelX 51305 KachelY + 1 49660 1.77721262 -1.17985740 101.826782 -67.600849
    Unten rechts KachelX + 1 51306 KachelY + 1 49660 1.77730849 -1.17985740 101.832275 -67.600849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17982086--1.17985740) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17982086--1.17985740) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77721262-1.77730849) × cos(-1.17982086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381090452174903 × 6371000     		do = 232.765387452195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77721262-1.77730849) × cos(-1.17985740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381056669310797 × 6371000     		du = 232.744753291964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17982086)-sin(-1.17985740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381090452174903-0.381056669310797)×R²
    abs(1.77730849-1.77721262)×3.37828641059357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37828641059357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37828641059357e-05×40589641000000     		ar = 54184.528505311m²