Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51304 / 49656
↖ ↑ ↗
← S 67.592475°
E101.821289°		 ← 232.85 m → S 67.592475°
E101.826782°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 67.594569°
E101.821289°		 ← 232.83 m →
54 205 m²		 S 67.594569°
E101.826782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782844543457031 y=0.757698059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782844543457031 × 216)
    floor (0.782844543457031 × 65536)
    floor (51304.5)     		tx = 51304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757698059082031 × 216)
    floor (0.757698059082031 × 65536)
    floor (49656.5)     		ty = 49656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51304 / 49656 ti = "16/51304/49656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51304/49656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51304 ÷ 216
    51304 ÷ 65536     		x = 0.7828369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49656 ÷ 216
    49656 ÷ 65536     		y = 0.7576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7828369140625 × 2 - 1) × π
    0.565673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77711674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7576904296875 × 2 - 1) × π
    -0.515380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61911672156702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77711674} λ = 1.77711674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61911672156702))-π/2
    2×atan(0.198073575957547)-π/2
    2×0.195542544680507-π/2
    0.391085089361013-1.57079632675     		φ = -1.17971124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77711674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.821289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17971124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.592475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51304 KachelY 49656 1.77711674 -1.17971124 101.821289 -67.592475
    Oben rechts KachelX + 1 51305 KachelY 49656 1.77721262 -1.17971124 101.826782 -67.592475
    Unten links KachelX 51304 KachelY + 1 49657 1.77711674 -1.17974778 101.821289 -67.594569
    Unten rechts KachelX + 1 51305 KachelY + 1 49657 1.77721262 -1.17974778 101.826782 -67.594569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17971124--1.17974778) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17971124--1.17974778) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77711674-1.77721262) × cos(-1.17971124) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381191797714113 × 6371000     		do = 232.851573797374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77711674-1.77721262) × cos(-1.17974778) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.381158016376606 × 6371000     		du = 232.830938417361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17971124)-sin(-1.17974778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381191797714113-0.381158016376606)×R²
    abs(1.77721262-1.77711674)×3.37813375071438e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.37813375071438e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.37813375071438e-05×40589641000000     		ar = 54204.592228494m²