Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51301 / 49702
↖ ↑ ↗
← S 67.688600°
E101.804809°		 ← 231.90 m → S 67.688600°
E101.810303°		 →
↑
231.90 m
↓
↑
231.90 m
↓
S 67.690686°
E101.804809°		 ← 231.88 m →
53 777 m²		 S 67.690686°
E101.810303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782798767089844 y=0.758399963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782798767089844 × 216)
    floor (0.782798767089844 × 65536)
    floor (51301.5)     		tx = 51301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758399963378906 × 216)
    floor (0.758399963378906 × 65536)
    floor (49702.5)     		ty = 49702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51301 / 49702 ti = "16/51301/49702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51301/49702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51301 ÷ 216
    51301 ÷ 65536     		x = 0.782791137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49702 ÷ 216
    49702 ÷ 65536     		y = 0.758392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782791137695312 × 2 - 1) × π
    0.565582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77682912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758392333984375 × 2 - 1) × π
    -0.51678466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62352691633206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77682912} λ = 1.77682912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62352691633206))-π/2
    2×atan(0.197201956328664)-π/2
    2×0.194703691286286-π/2
    0.389407382572571-1.57079632675     		φ = -1.18138894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77682912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.804809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18138894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.688600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51301 KachelY 49702 1.77682912 -1.18138894 101.804809 -67.688600
    Oben rechts KachelX + 1 51302 KachelY 49702 1.77692500 -1.18138894 101.810303 -67.688600
    Unten links KachelX 51301 KachelY + 1 49703 1.77682912 -1.18142534 101.804809 -67.690686
    Unten rechts KachelX + 1 51302 KachelY + 1 49703 1.77692500 -1.18142534 101.810303 -67.690686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18138894--1.18142534) × R
    3.64000000001585e-05 × 6371000     		dl = 231.90440000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18138894--1.18142534) × R
    3.64000000001585e-05 × 6371000     		dr = 231.90440000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77682912-1.77692500) × cos(-1.18138894) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.379640235073591 × 6371000     		do = 231.903799462636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77682912-1.77692500) × cos(-1.18142534) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.379606559937138 × 6371000     		du = 231.883228955694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18138894)-sin(-1.18142534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379640235073591-0.379606559937138)×R²
    abs(1.77692500-1.77682912)×3.36751364535814e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.36751364535814e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.36751364535814e-05×40589641000000     		ar = 53777.126282803m²