Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51301 / 48876
↖ ↑ ↗
← S 65.901653°
E101.804809°		 ← 249.41 m → S 65.901653°
E101.810303°		 →
↑
249.42 m
↓
↑
249.42 m
↓
S 65.903896°
E101.804809°		 ← 249.39 m →
62 207 m²		 S 65.903896°
E101.810303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782798767089844 y=0.745796203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782798767089844 × 216)
    floor (0.782798767089844 × 65536)
    floor (51301.5)     		tx = 51301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745796203613281 × 216)
    floor (0.745796203613281 × 65536)
    floor (48876.5)     		ty = 48876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51301 / 48876 ti = "16/51301/48876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51301/48876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51301 ÷ 216
    51301 ÷ 65536     		x = 0.782791137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48876 ÷ 216
    48876 ÷ 65536     		y = 0.74578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782791137695312 × 2 - 1) × π
    0.565582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77682912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.4915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54433515815973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77682912} λ = 1.77682912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54433515815973))-π/2
    2×atan(0.213453737033869)-π/2
    2×0.210297746358434-π/2
    0.420595492716868-1.57079632675     		φ = -1.15020083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77682912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.804809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15020083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.901653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51301 KachelY 48876 1.77682912 -1.15020083 101.804809 -65.901653
    Oben rechts KachelX + 1 51302 KachelY 48876 1.77692500 -1.15020083 101.810303 -65.901653
    Unten links KachelX 51301 KachelY + 1 48877 1.77682912 -1.15023998 101.804809 -65.903896
    Unten rechts KachelX + 1 51302 KachelY + 1 48877 1.77692500 -1.15023998 101.810303 -65.903896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15020083--1.15023998) × R
    3.91500000000988e-05 × 6371000     		dl = 249.42465000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15020083--1.15023998) × R
    3.91500000000988e-05 × 6371000     		dr = 249.42465000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77682912-1.77692500) × cos(-1.15020083) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408304122265569 × 6371000     		do = 249.413177376438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77682912-1.77692500) × cos(-1.15023998) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408268384033398 × 6371000     		du = 249.391346624424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15020083)-sin(-1.15023998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408304122265569-0.408268384033398)×R²
    abs(1.77692500-1.77682912)×3.57382321702349e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.57382321702349e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.57382321702349e-05×40589641000000     		ar = 62207.0719165574m²