Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51300 / 49972
↖ ↑ ↗
← S 68.244968°
E101.799317°		 ← 226.38 m → S 68.244968°
E101.804809°		 →
↑
226.36 m
↓
↑
226.36 m
↓
S 68.247004°
E101.799317°		 ← 226.36 m →
51 242 m²		 S 68.247004°
E101.804809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782783508300781 y=0.762519836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782783508300781 × 216)
    floor (0.782783508300781 × 65536)
    floor (51300.5)     		tx = 51300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762519836425781 × 216)
    floor (0.762519836425781 × 65536)
    floor (49972.5)     		ty = 49972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51300 / 49972 ti = "16/51300/49972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51300/49972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51300 ÷ 216
    51300 ÷ 65536     		x = 0.78277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49972 ÷ 216
    49972 ÷ 65536     		y = 0.76251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78277587890625 × 2 - 1) × π
    0.5655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77673325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.5250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64941284212689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77673325} λ = 1.77673325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64941284212689))-π/2
    2×atan(0.192162705348133)-π/2
    2×0.189848467919581-π/2
    0.379696935839162-1.57079632675     		φ = -1.19109939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77673325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.799317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19109939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.244968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51300 KachelY 49972 1.77673325 -1.19109939 101.799317 -68.244968
    Oben rechts KachelX + 1 51301 KachelY 49972 1.77682912 -1.19109939 101.804809 -68.244968
    Unten links KachelX 51300 KachelY + 1 49973 1.77673325 -1.19113492 101.799317 -68.247004
    Unten rechts KachelX + 1 51301 KachelY + 1 49973 1.77682912 -1.19113492 101.804809 -68.247004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19109939--1.19113492) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dl = 226.361630000744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19109939--1.19113492) × R
    3.55300000001169e-05 × 6371000     		dr = 226.361630000744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77673325-1.77682912) × cos(-1.19109939) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370639008302344 × 6371000     		do = 226.381773355995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77673325-1.77682912) × cos(-1.19113492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37060600862141 × 6371000     		du = 226.361617554467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19109939)-sin(-1.19113492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370639008302344-0.37060600862141)×R²
    abs(1.77682912-1.77673325)×3.29996809343425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29996809343425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29996809343425e-05×40589641000000     		ar = 51241.8659748356m²