Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5130 / 3049
↖ ↑ ↗
← N 81.132252°
W123.640137°		 ← 188.31 m → N 81.132252°
W123.629151°		 →
↑
188.39 m
↓
↑
188.39 m
↓
N 81.130557°
W123.640137°		 ← 188.35 m →
35 479 m²		 N 81.130557°
W123.629151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156570434570312 y=0.0930633544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156570434570312 × 215)
    floor (0.156570434570312 × 32768)
    floor (5130.5)     		tx = 5130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0930633544921875 × 215)
    floor (0.0930633544921875 × 32768)
    floor (3049.5)     		ty = 3049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5130 / 3049 ti = "15/5130/3049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5130/3049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5130 ÷ 215
    5130 ÷ 32768     		x = 0.15655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3049 ÷ 215
    3049 ÷ 32768     		y = 0.093048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.6868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15792747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093048095703125 × 2 - 1) × π
    0.81390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5569542257338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15792747} λ = -2.15792747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5569542257338))-π/2
    2×atan(12.8964776762935)-π/2
    2×1.49341062155135-π/2
    2.9868212431027-1.57079632675     		φ = 1.41602492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15792747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41602492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.132252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5130 KachelY 3049 -2.15792747 1.41602492 -123.640137 81.132252
    Oben rechts KachelX + 1 5131 KachelY 3049 -2.15773573 1.41602492 -123.629151 81.132252
    Unten links KachelX 5130 KachelY + 1 3050 -2.15792747 1.41599535 -123.640137 81.130557
    Unten rechts KachelX + 1 5131 KachelY + 1 3050 -2.15773573 1.41599535 -123.629151 81.130557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41602492-1.41599535) × R
    2.95699999999233e-05 × 6371000     		dl = 188.390469999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41602492-1.41599535) × R
    2.95699999999233e-05 × 6371000     		dr = 188.390469999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15792747--2.15773573) × cos(1.41602492) × R
    0.000191739999999996 × 0.154154242537057 × 6371000     		do = 188.311052070492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15792747--2.15773573) × cos(1.41599535) × R
    0.000191739999999996 × 0.154183459013392 × 6371000     		du = 188.346742203348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41602492)-sin(1.41599535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154154242537057-0.154183459013392)×R²
    abs(-2.15773573--2.15792747)×2.92164763346925e-05×R²
    0.000191739999999996×2.92164763346925e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.92164763346925e-05×40589641000000     		ar = 35479.3694484963m²