Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51299 / 49511
↖ ↑ ↗
← S 67.286894°
E101.793823°		 ← 235.86 m → S 67.286894°
E101.799317°		 →
↑
235.85 m
↓
↑
235.85 m
↓
S 67.289015°
E101.793823°		 ← 235.84 m →
55 626 m²		 S 67.289015°
E101.799317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782768249511719 y=0.755485534667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782768249511719 × 216)
    floor (0.782768249511719 × 65536)
    floor (51299.5)     		tx = 51299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755485534667969 × 216)
    floor (0.755485534667969 × 65536)
    floor (49511.5)     		ty = 49511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51299 / 49511 ti = "16/51299/49511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51299/49511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51299 ÷ 216
    51299 ÷ 65536     		x = 0.782760620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49511 ÷ 216
    49511 ÷ 65536     		y = 0.755477905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782760620117188 × 2 - 1) × π
    0.565521240234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77663737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755477905273438 × 2 - 1) × π
    -0.510955810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6052150206772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77663737} λ = 1.77663737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6052150206772))-π/2
    2×atan(0.200846364145713)-π/2
    2×0.198209238912545-π/2
    0.39641847782509-1.57079632675     		φ = -1.17437785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77663737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.793823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17437785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.286894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51299 KachelY 49511 1.77663737 -1.17437785 101.793823 -67.286894
    Oben rechts KachelX + 1 51300 KachelY 49511 1.77673325 -1.17437785 101.799317 -67.286894
    Unten links KachelX 51299 KachelY + 1 49512 1.77663737 -1.17441487 101.793823 -67.289015
    Unten rechts KachelX + 1 51300 KachelY + 1 49512 1.77673325 -1.17441487 101.799317 -67.289015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17437785--1.17441487) × R
    3.70200000001653e-05 × 6371000     		dl = 235.854420001053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17437785--1.17441487) × R
    3.70200000001653e-05 × 6371000     		dr = 235.854420001053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77663737-1.77673325) × cos(-1.17437785) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386117050445836 × 6371000     		do = 235.860171717919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77663737-1.77673325) × cos(-1.17441487) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.386082901089869 × 6371000     		du = 235.839311533285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17437785)-sin(-1.17441487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386117050445836-0.386082901089869)×R²
    abs(1.77673325-1.77663737)×3.41493559672945e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.41493559672945e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.41493559672945e-05×40589641000000     		ar = 55626.2040251809m²