Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51297 / 49249
↖ ↑ ↗
← S 66.724712°
E101.782837°		 ← 241.35 m → S 66.724712°
E101.788330°		 →
↑
241.33 m
↓
↑
241.33 m
↓
S 66.726883°
E101.782837°		 ← 241.33 m →
58 244 m²		 S 66.726883°
E101.788330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782737731933594 y=0.751487731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782737731933594 × 216)
    floor (0.782737731933594 × 65536)
    floor (51297.5)     		tx = 51297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751487731933594 × 216)
    floor (0.751487731933594 × 65536)
    floor (49249.5)     		ty = 49249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51297 / 49249 ti = "16/51297/49249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51297/49249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51297 ÷ 216
    51297 ÷ 65536     		x = 0.782730102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49249 ÷ 216
    49249 ÷ 65536     		y = 0.751480102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782730102539062 × 2 - 1) × π
    0.565460205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77644563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751480102539062 × 2 - 1) × π
    -0.502960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58009608527629
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77644563} λ = 1.77644563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58009608527629))-π/2
    2×atan(0.205955307981453)-π/2
    2×0.20311520464866-π/2
    0.40623040929732-1.57079632675     		φ = -1.16456592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77644563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.782837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16456592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.724712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51297 KachelY 49249 1.77644563 -1.16456592 101.782837 -66.724712
    Oben rechts KachelX + 1 51298 KachelY 49249 1.77654150 -1.16456592 101.788330 -66.724712
    Unten links KachelX 51297 KachelY + 1 49250 1.77644563 -1.16460380 101.782837 -66.726883
    Unten rechts KachelX + 1 51298 KachelY + 1 49250 1.77654150 -1.16460380 101.788330 -66.726883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16456592--1.16460380) × R
    3.78800000000457e-05 × 6371000     		dl = 241.333480000291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16456592--1.16460380) × R
    3.78800000000457e-05 × 6371000     		dr = 241.333480000291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77644563-1.77654150) × cos(-1.16456592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.395149331667485 × 6371000     		do = 241.352379106168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77644563-1.77654150) × cos(-1.16460380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39511453417589 × 6371000     		du = 241.331125223875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16456592)-sin(-1.16460380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395149331667485-0.39511453417589)×R²
    abs(1.77654150-1.77644563)×3.47974915947957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47974915947957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47974915947957e-05×40589641000000     		ar = 58243.8449262888m²