Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51296 / 49707
↖ ↑ ↗
← S 67.699025°
E101.777344°		 ← 231.80 m → S 67.699025°
E101.782837°		 →
↑
231.78 m
↓
↑
231.78 m
↓
S 67.701110°
E101.777344°		 ← 231.78 m →
53 724 m²		 S 67.701110°
E101.782837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782722473144531 y=0.758476257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782722473144531 × 216)
    floor (0.782722473144531 × 65536)
    floor (51296.5)     		tx = 51296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758476257324219 × 216)
    floor (0.758476257324219 × 65536)
    floor (49707.5)     		ty = 49707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51296 / 49707 ti = "16/51296/49707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51296/49707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51296 ÷ 216
    51296 ÷ 65536     		x = 0.78271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49707 ÷ 216
    49707 ÷ 65536     		y = 0.758468627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    0.5654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77634975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758468627929688 × 2 - 1) × π
    -0.516937255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62400628532826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77634975} λ = 1.77634975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62400628532826))-π/2
    2×atan(0.197107446479165)-π/2
    2×0.194612717582552-π/2
    0.389225435165103-1.57079632675     		φ = -1.18157089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77634975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18157089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.699025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51296 KachelY 49707 1.77634975 -1.18157089 101.777344 -67.699025
    Oben rechts KachelX + 1 51297 KachelY 49707 1.77644563 -1.18157089 101.782837 -67.699025
    Unten links KachelX 51296 KachelY + 1 49708 1.77634975 -1.18160727 101.777344 -67.701110
    Unten rechts KachelX + 1 51297 KachelY + 1 49708 1.77644563 -1.18160727 101.782837 -67.701110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18157089--1.18160727) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dl = 231.77698000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18157089--1.18160727) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dr = 231.77698000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77634975-1.77644563) × cos(-1.18157089) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379471900622299 × 6371000     		do = 231.800972113392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77634975-1.77644563) × cos(-1.18160727) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379438241476506 × 6371000     		du = 231.780411374369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18157089)-sin(-1.18160727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379471900622299-0.379438241476506)×R²
    abs(1.77644563-1.77634975)×3.36591457927859e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36591457927859e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36591457927859e-05×40589641000000     		ar = 53723.7465303399m²