Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51293 / 84386
↖ ↑ ↗
← S 45.893832°
W 39.119568°		 ← 212.57 m → S 45.893832°
W 39.116821°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
S 45.895743°
W 39.119568°		 ← 212.57 m →
45 179 m²		 S 45.895743°
W 39.116821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391338348388672 y=0.643817901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391338348388672 × 217)
    floor (0.391338348388672 × 131072)
    floor (51293.5)     		tx = 51293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643817901611328 × 217)
    floor (0.643817901611328 × 131072)
    floor (84386.5)     		ty = 84386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51293 / 84386 ti = "17/51293/84386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51293/84386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51293 ÷ 217
    51293 ÷ 131072     		x = 0.391334533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84386 ÷ 217
    84386 ÷ 131072     		y = 0.643814086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391334533691406 × 2 - 1) × π
    -0.217330932617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.68276526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643814086914062 × 2 - 1) × π
    -0.287628173828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.903610557838058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68276526} λ = -0.68276526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.903610557838058))-π/2
    2×atan(0.405104363329443)-π/2
    2×0.38489893058228-π/2
    0.76979786116456-1.57079632675     		φ = -0.80099847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68276526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.119568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80099847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.893832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51293 KachelY 84386 -0.68276526 -0.80099847 -39.119568 -45.893832
    Oben rechts KachelX + 1 51294 KachelY 84386 -0.68271732 -0.80099847 -39.116821 -45.893832
    Unten links KachelX 51293 KachelY + 1 84387 -0.68276526 -0.80103183 -39.119568 -45.895743
    Unten rechts KachelX + 1 51294 KachelY + 1 84387 -0.68271732 -0.80103183 -39.116821 -45.895743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80099847--0.80103183) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80099847--0.80103183) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68276526--0.68271732) × cos(-0.80099847) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695990103641916 × 6371000     		do = 212.573292437862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68276526--0.68271732) × cos(-0.80103183) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.695966149060806 × 6371000     		du = 212.5659760922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80099847)-sin(-0.80103183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695990103641916-0.695966149060806)×R²
    abs(-0.68271732--0.68276526)×2.39545811105968e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39545811105968e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39545811105968e-05×40589641000000     		ar = 45178.8188313475m²