Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51292 / 48875
↖ ↑ ↗
← S 65.899411°
E101.755371°		 ← 249.41 m → S 65.899411°
E101.760864°		 →
↑
249.36 m
↓
↑
249.36 m
↓
S 65.901653°
E101.755371°		 ← 249.39 m →
62 190 m²		 S 65.901653°
E101.760864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782661437988281 y=0.745780944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782661437988281 × 216)
    floor (0.782661437988281 × 65536)
    floor (51292.5)     		tx = 51292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745780944824219 × 216)
    floor (0.745780944824219 × 65536)
    floor (48875.5)     		ty = 48875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51292 / 48875 ti = "16/51292/48875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51292/48875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51292 ÷ 216
    51292 ÷ 65536     		x = 0.78265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48875 ÷ 216
    48875 ÷ 65536     		y = 0.745773315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78265380859375 × 2 - 1) × π
    0.5653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.77596626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745773315429688 × 2 - 1) × π
    -0.491546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54423928436049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77596626} λ = 1.77596626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54423928436049))-π/2
    2×atan(0.213474202635642)-π/2
    2×0.210317320048487-π/2
    0.420634640096974-1.57079632675     		φ = -1.15016169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77596626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.755371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15016169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.899411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51292 KachelY 48875 1.77596626 -1.15016169 101.755371 -65.899411
    Oben rechts KachelX + 1 51293 KachelY 48875 1.77606213 -1.15016169 101.760864 -65.899411
    Unten links KachelX 51292 KachelY + 1 48876 1.77596626 -1.15020083 101.755371 -65.901653
    Unten rechts KachelX + 1 51293 KachelY + 1 48876 1.77606213 -1.15020083 101.760864 -65.901653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15016169--1.15020083) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dl = 249.360939999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15016169--1.15020083) × R
    3.91399999999376e-05 × 6371000     		dr = 249.360939999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77596626-1.77606213) × cos(-1.15016169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408339850743622 × 6371000     		do = 249.408986837824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77596626-1.77606213) × cos(-1.15020083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408304122265569 × 6371000     		du = 249.387164320389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15016169)-sin(-1.15020083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408339850743622-0.408304122265569)×R²
    abs(1.77606213-1.77596626)×3.57284780533873e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.57284780533873e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.57284780533873e-05×40589641000000     		ar = 62190.1385683912m²