Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51290 / 49513
↖ ↑ ↗
← S 67.291136°
E101.744385°		 ← 235.79 m → S 67.291136°
E101.749878°		 →
↑
235.79 m
↓
↑
235.79 m
↓
S 67.293256°
E101.744385°		 ← 235.77 m →
55 596 m²		 S 67.293256°
E101.749878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.782630920410156 y=0.755516052246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.782630920410156 × 216)
    floor (0.782630920410156 × 65536)
    floor (51290.5)     		tx = 51290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755516052246094 × 216)
    floor (0.755516052246094 × 65536)
    floor (49513.5)     		ty = 49513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51290 / 49513 ti = "16/51290/49513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51290/49513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51290 ÷ 216
    51290 ÷ 65536     		x = 0.782623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49513 ÷ 216
    49513 ÷ 65536     		y = 0.755508422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.782623291015625 × 2 - 1) × π
    0.56524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.77577451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755508422851562 × 2 - 1) × π
    -0.511016845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60540676827568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77577451} λ = 1.77577451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60540676827568))-π/2
    2×atan(0.200807856029762)-π/2
    2×0.198172223677588-π/2
    0.396344447355177-1.57079632675     		φ = -1.17445188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77577451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.744385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17445188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.291136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51290 KachelY 49513 1.77577451 -1.17445188 101.744385 -67.291136
    Oben rechts KachelX + 1 51291 KachelY 49513 1.77587038 -1.17445188 101.749878 -67.291136
    Unten links KachelX 51290 KachelY + 1 49514 1.77577451 -1.17448889 101.744385 -67.293256
    Unten rechts KachelX + 1 51291 KachelY + 1 49514 1.77587038 -1.17448889 101.749878 -67.293256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17445188--1.17448889) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dl = 235.790710000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17445188--1.17448889) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dr = 235.790710000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77577451-1.77587038) × cos(-1.17445188) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386048760429566 × 6371000     		do = 235.793861494034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77577451-1.77587038) × cos(-1.17448889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386014619240477 × 6371000     		du = 235.773008473285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17445188)-sin(-1.17448889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386048760429566-0.386014619240477)×R²
    abs(1.77587038-1.77577451)×3.41411890888987e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41411890888987e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41411890888987e-05×40589641000000     		ar = 55595.5435474898m²